Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 + e^{x}$ .

$\frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.5

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.5.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.2.1

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.6.2.1.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.6.2.2

Combine os termos opostos em $3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Etapa 1.6.2.2.1

Subtraia $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$\frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 1.6.2.2.2

Some $3 e^{x}$ e $0$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}})$

Etapa 2.2

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}})$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 + e^{x}$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 + e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.6

Diferencie.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.6.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.6.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.9

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.10

Fatore $3 + e^{x}$ de ${(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ .

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Etapa 2.10.1

Fatore $3 + e^{x}$ de ${(3 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.10.2

Fatore $3 + e^{x}$ de $- 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.10.3

Fatore $3 + e^{x}$ de $(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

Etapa 2.11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.11.1

Fatore $3 + e^{x}$ de ${(3 + e^{x})}^{4}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

Etapa 2.11.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

Etapa 2.11.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}})$

Etapa 2.12

Combine $3$ e $\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13

Simplifique.

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Etapa 2.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.13.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.13.3.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.13.3.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{x + x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.2

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} - 6 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.3.2

Subtraia $6 e^{2 x}$ de $3 e^{2 x}$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.13.4.1

Fatore $3$ de $9 e^{x} - 3 e^{2 x}$ .

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Etapa 2.13.4.1.1

Fatore $3$ de $9 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.4.1.2

Fatore $3$ de $- 3 e^{2 x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.4.1.3

Fatore $3$ de $3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.4.2

Reescreva $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.4.3

Deixe $u = e^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (3 u - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.4.4

Fatore $u$ de $3 u - u^{2}$ .

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Etapa 2.13.4.4.1

Fatore $u$ de $3 u$ .

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.4.4.2

Fatore $u$ de $- u^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 + u (- u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.4.4.3

Fatore $u$ de $u \cdot 3 + u (- u)$ .

$f'' (x) = \frac{3 (u (3 - u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.13.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (3 - e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Nenhum extremo local

Etapa 6