Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 9}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 9$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9)}{x^{2}}$

Etapa 1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Etapa 1.9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.2.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 9}{x^{2}}$

Etapa 1.9.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$

Etapa 1.9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.9.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 3)) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 3)) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 3) (x - 3)) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 3) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x + 3)) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (3))) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 3 + (x - 3) (1 + 0)) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 3 + (x - 3) \cdot 1) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.8.2

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 3 + x - 3) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.8.3

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 3 - 3) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.8.4

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.8.4.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 3) (x - 3) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 3) (x - 3) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 3) (x - 3) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 6) (x - 3) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.2

Expanda $(- 2 x - 6) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 3) - 6 (x - 3)) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 - 6 (x - 3)) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 - 6 x - 6 \cdot - 3) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 - 6 x - 6 \cdot - 3) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 6 x - 6 \cdot - 3) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.3.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 3) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.3.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 6 x - 6 x + 18) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.3.2

Subtraia $6 x$ de $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 18) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.3.3

Some $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 18) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 18 x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 18 x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 18 x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 18 x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 18 x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 18 x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2.3

Some $0$ e $18 x$ .

$f'' (x) = \frac{18 x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.3.1

Fatore $x$ de $18 x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 18}{x^{4}}$

Etapa 2.9.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot 18}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.9.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 18}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.9.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{18}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$f' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} (9)) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x (2 x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 4.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 4.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 4.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Etapa 4.1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 4.1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9)}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.2.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - x^{2} - 9}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5.3.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.3.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 3, 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{18}{{(- 3)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$\frac{18}{- 27}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $18$ e $- 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $9$ de $18$ .

$\frac{9 (2)}{- 27}$

Etapa 9.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Fatore $9$ de $- 27$ .

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot - 3}$

Etapa 9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot - 3}$

Etapa 9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{- 3}$

Etapa 9.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3}$

Etapa 10

$x = - 3$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 3$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2} + 9}{- 3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = \frac{9 + 9}{- 3}$

Etapa 11.2.1.2

Some $9$ e $9$ .

$f (- 3) = \frac{18}{- 3}$

Etapa 11.2.2

Divida $18$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 6$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{18}{{(3)}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{18}{27}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $18$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Fatore $9$ de $18$ .

$\frac{9 (2)}{27}$

Etapa 13.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Fatore $9$ de $27$ .

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Etapa 13.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Etapa 13.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3}$

Etapa 14

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{{(3)}^{2} + 9}{3}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = \frac{9 + 9}{3}$

Etapa 15.2.1.2

Some $9$ e $9$ .

$f (3) = \frac{18}{3}$

Etapa 15.2.2

Divida $18$ por $3$ .

$f (3) = 6$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $6$ .

$y = 6$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x^{2} + 9}{x}$ .

$(- 3, - 6)$ é um máximo local

$(3, 6)$ é um mínimo local

Etapa 17