Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x^{2}}{x + 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{2}}{x + 2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 2$ .

$3 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x + 2$ .

$3 \frac{2 \cdot (x + 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Combine frações.

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Etapa 1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.3

Combine $3$ e $\frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{3 (2 (x + 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 ((2 x + 2 \cdot 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.4.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{3 (2 (x \cdot x)) + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.4.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.4.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 (4 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.4.1.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 12 x + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 12 x - 3 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.4.2

Subtraia $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} + 12 x$ .

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Etapa 1.4.5.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x (x) + 12 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.2

Fatore $3 x$ de $12 x$ .

$\frac{3 x (x) + 3 x (4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4.5.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (4)$ .

$f' (x) = \frac{3 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}]$

Etapa 2.2

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x + 4)] - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{({(x + 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x + 4)] - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x + 4)] - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 4$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.5.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x + (x + 4) \cdot 1) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.5.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.5.6.1

Multiplique $x + 4$ por $1$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x + x + 4) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.5.6.2

Some $x$ e $x$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) (2 u \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) (2 (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.7.2

Fatore $x + 2$ de ${(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])$ .

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Etapa 2.7.2.1

Fatore $x + 2$ de ${(x + 2)}^{2} (2 x + 4)$ .

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4)) - 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.7.2.2

Fatore $x + 2$ de $- 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])$ .

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4)) + (x + 2) (- 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.7.2.3

Fatore $x + 2$ de $(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4)) + (x + 2) (- 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))$ .

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{{(x + 2)}^{4}}$

Etapa 2.8

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.8.1

Fatore $x + 2$ de ${(x + 2)}^{4}$ .

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{(x + 2) {(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.8.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{(x + 2) {(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.8.3

Reescreva a expressão.

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.11

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.12

Combine frações.

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Etapa 2.12.1

Some $1$ e $0$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) \cdot 1}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.12.3

Combine $3$ e $\frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{3}}$ .

$\frac{3 ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4))}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13

Simplifique.

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Etapa 2.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 ((x + 2) (2 x + 4)) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.13.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.13.3.1.1

Expanda $(x + 2) (2 x + 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x (2 x + 4) + 2 (2 x + 4)) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x (2 x) + x \cdot 4 + 2 (2 x + 4)) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x (2 x) + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.13.3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.13.3.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.13.3.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{3 (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.1.5

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x + 4 x + 8) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.2.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 8 x + 8) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (8 x) + 3 \cdot 8 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.4.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 8 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.4.2

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 3 \cdot 8 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.4.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 + 3 (- 2 (x \cdot x)) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 + 3 (- 2 x^{2}) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.7

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} + 3 (- 8 x)}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.1.8

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} - 24 x}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.2

Combine os termos opostos em $6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} - 24 x$ .

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Etapa 2.13.3.2.1

Subtraia $6 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{24 x + 24 + 0 - 24 x}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.2.2

Some $24 x + 24$ e $0$ .

$\frac{24 x + 24 - 24 x}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.2.3

Subtraia $24 x$ de $24 x$ .

$\frac{0 + 24}{{(x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.13.3.2.4

Some $0$ e $24$ .

$f'' (x) = \frac{24}{{(x + 2)}^{3}}$