Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 6) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.5

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

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Etapa 1.6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 1.6.3.2.2

Some $12 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{2}})$

Etapa 2.2

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{({(x^{2} + 6)}^{2})}^{2}})$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 6)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2 \cdot 2}})$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Etapa 2.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 6)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (2 (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Etapa 2.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Etapa 2.5.2

Fatore $x^{2} + 6$ de ${(x^{2} + 6)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $x^{2} + 6$ de ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Etapa 2.5.2.2

Fatore $x^{2} + 6$ de $- 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) + (x^{2} + 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Etapa 2.5.2.3

Fatore $x^{2} + 6$ de $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) + (x^{2} + 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 6]))$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Etapa 2.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.1

Fatore $x^{2} + 6$ de ${(x^{2} + 6)}^{4}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) {(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) {(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.9

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.14

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{- 3 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Etapa 2.16

Combine $12$ e $\frac{- 3 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (- 3 x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.17

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{12 (- 3 x^{2}) + 12 \cdot 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.17.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.17.2.1

Multiplique $- 3$ por $12$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 12 \cdot 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.17.2.2

Multiplique $12$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 72}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.17.3

Fatore $36$ de $- 36 x^{2} + 72$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.3.1

Fatore $36$ de $- 36 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2}) + 72}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.17.3.2

Fatore $36$ de $72$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2}) + 36 (2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.17.3.3

Fatore $36$ de $36 (- x^{2}) + 36 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.17.4

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2}) + 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.17.5

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.17.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2} - 2))}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.17.7

Reescreva $- (x^{2} - 2)$ como $- 1 (x^{2} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{36 (- 1 (x^{2} - 2))}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 2.17.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{36 (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{36 (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 6)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Etapa 3.2

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{({(x^{2} + 6)}^{3})}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 6)}^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{3 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 6)}^{3}$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 \cdot ({(x^{2} + 6)}^{3} x) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 6$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 6$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (3 {(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.5.2

Fatore ${(x^{2} + 6)}^{2}$ de $2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Fatore ${(x^{2} + 6)}^{2}$ de $2 {(x^{2} + 6)}^{3} x$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.5.2.2

Fatore ${(x^{2} + 6)}^{2}$ de $- 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) + {(x^{2} + 6)}^{2} (- 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.5.2.3

Fatore ${(x^{2} + 6)}^{2}$ de ${(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) + {(x^{2} + 6)}^{2} (- 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 6]))$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Etapa 3.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Fatore ${(x^{2} + 6)}^{2}$ de ${(x^{2} + 6)}^{6}$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{2} {(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{2} {(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.9

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.10

Combine frações.

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Etapa 3.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.10.3

Combine $- 36$ e $\frac{2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 36 (2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.10.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = - \frac{(36) (2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = - \frac{36 ((2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) + (- 6 x^{2} - 6 \cdot - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 6 x^{2} x - 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.11.6.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.11.6.1.1.1

Mova $x$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 (x \cdot x^{2})) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.11.6.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 (x \cdot x^{2})) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{1 + 2}) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{3}) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.2

Multiplique $2$ por $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 36 (12 x) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.4

Multiplique $12$ por $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.11.6.1.5.1

Mova $x$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 (x \cdot x^{2})) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.11.6.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 (x \cdot x^{2})) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{1 + 2}) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{3}) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.6

Multiplique $- 6$ por $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.7

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 36 (12 x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.1.8

Multiplique $12$ por $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 432 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.2

Subtraia $216 x^{3}$ de $72 x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 144 x^{3} + 432 x + 432 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.6.3

Some $432 x$ e $432 x$ .

$f''' (x) = - \frac{- 144 x^{3} + 864 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.7

Fatore $144 x$ de $- 144 x^{3} + 864 x$ .

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Etapa 3.11.7.1

Fatore $144 x$ de $- 144 x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2}) + 864 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.7.2

Fatore $144 x$ de $864 x$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2}) + 144 x (6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.7.3

Fatore $144 x$ de $144 x (- x^{2}) + 144 x (6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.8

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2}) + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.9

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.10

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2} - 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.11

Reescreva $- (x^{2} - 6)$ como $- 1 (x^{2} - 6)$ .

$f''' (x) = - \frac{144 x (- 1 (x^{2} - 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = \frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Etapa 3.11.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Etapa 3.11.14

Multiplique $\frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$