Cálculo Exemplos

$x y + x + y - x^{2} y^{2} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x y + x + y - x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + x + y - x^{2} y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y + 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y + 1 + y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$x y' + y + 1 + y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x y' + y + 1 + y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.5.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x y' + y + 1 + y' - (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x y' + y + 1 + y' - (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x y' + y + 1 + y' - (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y + 1 + y' - (x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x y' + y + 1 + y' - (x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x))$

Etapa 2.5.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$x y' + y + 1 + y' - (2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Etapa 2.5.7

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$x y' + y + 1 + y' - (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x)$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x y' + y + 1 + y' - (2 x^{2} y y') - (2 y^{2} x)$

Etapa 2.6.2

Combine os termos.

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Etapa 2.6.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x y' + y + 1 + y' - 2 (x^{2} y y') - (2 y^{2} x)$

Etapa 2.6.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x y' + y + 1 + y' - 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x$

Etapa 2.6.3

Reordene os termos.

$x y' - 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x + y + 1 + y'$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x y' - 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x + y + 1 + y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $2 y^{2} x$ aos dois lados da equação.

$x y' - 2 x^{2} y y' + y + 1 + y' = 2 y^{2} x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' - 2 x^{2} y y' + 1 + y' = 2 y^{2} x - y$

Etapa 5.1.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x y' - 2 x^{2} y y' + y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $x y' - 2 x^{2} y y' + y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' x - 2 x^{2} y y' + y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $- 2 x^{2} y y'$ .

$y' (x) + y' (- 2 x^{2} y) + y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Etapa 5.2.3

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' (x) + y' (- 2 x^{2} y) + y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Etapa 5.2.4

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (x) + y' (- 2 x^{2} y) + y' \cdot 1 = 2 y^{2} x - y - 1$

Etapa 5.2.5

Fatore $y'$ de $y' (x) + y' (- 2 x^{2} y)$ .

$y' (x - 2 x^{2} y) + y' \cdot 1 = 2 y^{2} x - y - 1$

Etapa 5.2.6

Fatore $y'$ de $y' (x - 2 x^{2} y) + y' \cdot 1$ .

$y' (x - 2 x^{2} y + 1) = 2 y^{2} x - y - 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (x - 2 x^{2} y + 1) = 2 y^{2} x - y - 1$ por $x - 2 x^{2} y + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (x - 2 x^{2} y + 1) = 2 y^{2} x - y - 1$ por $x - 2 x^{2} y + 1$ .

$\frac{y' (x - 2 x^{2} y + 1)}{x - 2 x^{2} y + 1} = \frac{2 y^{2} x}{x - 2 x^{2} y + 1} + \frac{- y}{x - 2 x^{2} y + 1} + \frac{- 1}{x - 2 x^{2} y + 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x - 2 x^{2} y + 1$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x - 2 x^{2} y + 1)}{x - 2 x^{2} y + 1} = \frac{2 y^{2} x}{x - 2 x^{2} y + 1} + \frac{- y}{x - 2 x^{2} y + 1} + \frac{- 1}{x - 2 x^{2} y + 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x - 2 x^{2} y + 1} + \frac{- y}{x - 2 x^{2} y + 1} + \frac{- 1}{x - 2 x^{2} y + 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x - 2 x^{2} y + 1} - \frac{y}{x - 2 x^{2} y + 1} + \frac{- 1}{x - 2 x^{2} y + 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x - 2 x^{2} y + 1} - \frac{y}{x - 2 x^{2} y + 1} - \frac{1}{x - 2 x^{2} y + 1}$

Etapa 5.3.3.2

Combine em uma fração.

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Etapa 5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y}{x - 2 x^{2} y + 1} - \frac{1}{x - 2 x^{2} y + 1}$

Etapa 5.3.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x - 2 x^{2} y + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x - 2 x^{2} y + 1}$