Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2)$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.9

Combine $3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.12

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.9

Combine $- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.10

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.11

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.12.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 3.4.2

Some $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$