Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{2} - \sqrt{x} + \frac{5}{x^{2}} + 6$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6)$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 x - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 x - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.3.9

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ .

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Etapa 4.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 4.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.4.10

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 4.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 x^{- 3} + 0$

Etapa 4.6

Simplifique.

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Etapa 4.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Etapa 4.6.2

Combine os termos.

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Etapa 4.6.2.1

Combine $- 10$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 10}{x^{3}} + 0$

Etapa 4.6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}} + 0$

Etapa 4.6.2.3

Some $4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}}$ e $0$ .

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}}$

Etapa 4.6.3

Reordene os termos.

$4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$