Cálculo Exemplos

$y = \frac{8 x + 7}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{8 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 8 x + 7$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.5

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.7

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.8

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 + 0) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Some $8$ e $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.9.2

Mova $8$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Etapa 4.11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Etapa 4.12

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Etapa 4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Etapa 4.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.14.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Etapa 4.14.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Etapa 4.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Etapa 4.16

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Etapa 4.17

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + (- (8 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.3.1.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 8 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 8 x$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.2.2

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.3

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.5

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 4 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.6

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.3.1.6.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.6.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.3.1.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.6.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.7

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.8

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.9

Combine $- 7$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.3.2

Subtraia $4 x^{\frac{1}{2}}$ de $8 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.4.1

Para escrever $4 x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.4.2

Combine $4 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.4.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.4.4.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.4.4.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.4.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.4.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.4.4.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.4.4.2.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{1} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.4.4.3

Simplifique $4 \cdot 2 x^{1}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.4.4.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Etapa 4.18.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 4.18.6

Multiplique $\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.18.6.1

Multiplique $\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Etapa 4.18.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{8 x - 7}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.18.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.6.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18.6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 4.18.6.6

Some $2$ e $1$ .

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$