Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} - x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{2}{3}} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Etapa 1.1.4.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

Etapa 2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.2.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2 = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Multiplique $3 x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$2 = 3 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$

Etapa 2.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 2.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1

Simplifique ${(\frac{2}{3})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Etapa 2.5.4.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$x = \frac{8}{3^{3}}$

Etapa 2.5.4.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$x = \frac{8}{27}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{8}{27}$ .

$\frac{8}{27}$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

Etapa 4.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - 1$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 x = 0^{3}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x = 0$

Etapa 4.3.3

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 4.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Etapa 4.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1

Divida $0$ por $27$ .

$x = 0$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{27}) \cup (\frac{8}{27}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Etapa 6.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Etapa 6.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 (- 1)} - 1$

Etapa 6.2.1.1.4

Avalie o expoente.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 \cdot - 1} - 1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{- 3} - 1$

Etapa 6.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1$

Etapa 6.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 6.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 3}{3}$

Etapa 6.2.5.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 5}{3}$

Etapa 6.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{5}{3}$

Etapa 6.2.7

A resposta final é $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{5}{3}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{8}{27})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.\overline{148}$ na expressão.

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 {(0.\overline{148})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.\overline{148}$ à potência de $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 \cdot 0.52913368} - 1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $0.52913368$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{1.58740105} - 1$

Etapa 7.2.1.3

Divida $2$ por $1.58740105$ .

$f' (0.\overline{148}) = 1.25992104 - 1$

Etapa 7.2.2

Subtraia $1$ de $1.25992104$ .

$f' (0.\overline{148}) = 0.25992104$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.25992104$ .

$0.25992104$

Etapa 7.3

Em $x = 0.\overline{148}$ , a derivada é $0.25992104$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \frac{8}{27})$ .

Acréscimo em $(0, \frac{8}{27})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\frac{8}{27}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.2962963$ na expressão.

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 {(1.2962963)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $1.2962963$ à potência de $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 \cdot 1.09035543} - 1$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $3$ por $1.09035543$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3.27106631} - 1$

Etapa 8.2.1.3

Divida $2$ por $3.27106631$ .

$f' (1.2962963) = 0.61142141 - 1$

Etapa 8.2.2

Subtraia $1$ de $0.61142141$ .

$f' (1.2962963) = - 0.38857858$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 0.38857858$ .

$- 0.38857858$

Etapa 8.3

Em $x = 1.2962963$ , a derivada é $- 0.38857858$ . Por ser negativa, a função diminui em $(\frac{8}{27}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{8}{27}, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, \frac{8}{27})$

Decréscimo em: $(- \infty, 0), (\frac{8}{27}, \infty)$

Etapa 10