Cálculo Exemplos

$y = {(6 x - 5)}^{2} {(3 - x^{5})}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(6 x - 5)}^{2}$ e $g (x) = {(3 - x^{5})}^{2}$ .

${(6 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 - x^{5})}^{2}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 - x^{5}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 - x^{5}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 u \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - x^{5}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 2 (3 - x^{5}) (5 x^{4})) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 3.7

Multiplique $5$ por $- 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 10 (3 - x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} ((- 10 \cdot 3 - 10 (- x^{5})) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (- 10 \cdot 3 x^{4} - 10 (- x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 10$ por $3$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} - 10 (- x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{5} x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 4.3.3

Multiplique $x^{5}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.3.1

Mova $x^{4}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 (x^{4} x^{5})) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 4.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{4 + 5}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 4.3.3.3

Some $4$ e $5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{9}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Etapa 5

Reescreva ${(6 x - 5)}^{2}$ como $(6 x - 5) (6 x - 5)$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 5) (6 x - 5)]$

Etapa 6

Expanda $(6 x - 5) (6 x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x - 5) - 5 (6 x - 5)]$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x - 5)]$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Etapa 7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Etapa 7.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.2.1

Mova $x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Etapa 7.1.3

Multiplique $6$ por $6$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Etapa 7.1.4

Multiplique $- 5$ por $6$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Etapa 7.1.5

Multiplique $6$ por $- 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 30 x - 5 \cdot - 5]$

Etapa 7.1.6

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 30 x + 25]$

Etapa 7.2

Subtraia $30 x$ de $- 30 x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $36 x^{2} - 60 x + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 9

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $36$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 12

Como $- 60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60 x$ em relação a $x$ é $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 14

Multiplique $- 60$ por $1$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + \frac{d}{d x} [25])$

Etapa 15

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + 0)$

Etapa 16

Some $72 x - 60$ e $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$