Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{e^{x} - 1 - x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - x}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - x}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - x}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - x}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - x}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1 + 0}$

Etapa 1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.5.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 + 0}$

Etapa 1.3.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Etapa 1.3.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.3.5.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.5.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{e^{x} - 1 - x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]}$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.8.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{e^{x} + 0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{e^{x} + 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.8.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{e^{x} + 0 - 1}$

Etapa 3.9

Some $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{e^{x} - 1}$

Etapa 4

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{x} - 1}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 5.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 5.1.3.1.2

Mova o limite para o expoente.

$6 \frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 5.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.3.3.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1}$

Etapa 5.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 5.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 5.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$6 (\frac{0}{0})$

Etapa 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Etapa 5.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 5.3.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 5.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{x} + 0}$

Etapa 5.3.6

Some $e^{x}$ e $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$6 \frac{1}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Etapa 6.3

Mova o limite para o expoente.

$6 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$6 \frac{1}{e^{0}}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$6 (\frac{1}{1})$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{1}{1})$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão.

$6 \cdot 1$

Etapa 8.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6$