Cálculo Exemplos

$(1 - e^{z}) (z + e^{z})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ é $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , em que $f (z) = 1 - e^{z}$ e $g (z) = z + e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) \frac{d}{d z} [z + e^{z}] + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $z + e^{z}$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 - e^{z}) (1 + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ é $a^{z} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - e^{z}$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Etapa 4.2

Como $1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $1$ em relação a $z$ é $0$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (0 + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [- e^{z}]$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- e^{z}$ em relação a $z$ é $- \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- \frac{d}{d z} [e^{z}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ é $a^{z} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- e^{z})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} (- e^{z})$

Etapa 6.2

Combine os termos.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $e^{z}$ por $e^{z}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1.1

Mova $e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} e^{z} \cdot - 1$

Etapa 6.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z + z} \cdot - 1$

Etapa 6.2.1.3

Some $z$ e $z$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{2 z} \cdot - 1$

Etapa 6.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - 1 \cdot e^{2 z}$

Etapa 6.2.3

Reescreva $- 1 e^{2 z}$ como $- e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - e^{2 z}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$(1 + e^{z}) (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1

Expanda $(1 + e^{z}) (1 - e^{z})$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 - e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4.2.1.2

Multiplique $- e^{z}$ por $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4.2.1.3

Multiplique $e^{z}$ por $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z} e^{z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4.2.1.5

Multiplique $e^{z}$ por $e^{z}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.2.1.5.1

Mova $e^{z}$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - (e^{z} e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4.2.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z + z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4.2.1.5.3

Some $z$ e $z$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4.2.2

Some $- e^{z}$ e $e^{z}$ .

$1 + 0 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.4.2.3

Some $1$ e $0$ .

$1 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Etapa 6.5

Subtraia $e^{2 z}$ de $- e^{2 z}$ .

$1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$

Etapa 6.6

Reordene os fatores em $1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$ .

$1 - z e^{z} - 2 e^{2 z}$