Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x^{2} - 3 x - 10$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Multiplique $x^{2} - 3 x - 10$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x - 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.9

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.10

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.11

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2

Expanda $(- x - 2) (2 x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.1.3.2.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3.2

Subtraia $4 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 3 x - 10 - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 10 + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.4

Some $- 10$ e $6$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.1.3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ e cuja soma é $b = - 4$ .

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Etapa 1.1.1.3.3.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2

Reescreva $- 4$ como $- 2$ mais $- 2$

$f' (x) = \frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.1.3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f' (x) = \frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f' (x) = \frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1.3.4.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 10$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1.3.4.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 5, 2$

Etapa 1.1.1.3.4.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 5) (x + 2))}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.2

Aplique a regra do produto a $(x - 5) (x + 2)$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.3.5.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$f' (x) = \frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.4

Reescreva $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.5

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 ((x + 2) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.6

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 ((x + 2) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.8

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6

Cancele o fator comum de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{- 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ como ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 5)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.4.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.4.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + 0$

Etapa 1.1.2.4.7.2

Some $2 {(x - 5)}^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 5)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.5.2

Combine $2$ e $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 10$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 5, 2$

Etapa 2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Etapa 2.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.2.3

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.2.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.2.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 2$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 5) \cup (5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 2, 5}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 5) \cup (5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 2, 5}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = \frac{2}{{((- 4) - 5)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.1

Subtraia $5$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2}{{(- 9)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 9$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2}{- 729}$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{729}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- \frac{2}{729}$ .

$- \frac{2}{729}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 2, 5)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 5)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1.1

Subtraia $5$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 5)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 125}$

Etapa 5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{2}{125}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- \frac{2}{125}$ .

$- \frac{2}{125}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 2, 5)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 2, 5)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(5, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f'' (8) = \frac{2}{{((8) - 5)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Subtraia $5$ de $8$ .

$f'' (8) = \frac{2}{3^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (8) = \frac{2}{27}$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2}{27}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(5, \infty)$ porque $f'' (8)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para baixo em $(- 2, 5)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8