Cálculo Exemplos

$x \sqrt{y} = 1$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y^{\frac{1}{2}} = 1$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.9

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.10

Combine $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.11

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} y' + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.12

Combine $\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $y'$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 3.14

Multiplique $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Encontre um divisor comum $y^{\frac{1}{2}}$ que esteja presente em cada termo.

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2

Substitua $u$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Etapa 6.3

Resolva $u$ .

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Etapa 6.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.1.1

Aplique a regra do produto a $x {y'}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Etapa 6.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Etapa 6.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{1}} + u = 0$

Etapa 6.3.1.3

Simplifique.

$\frac{1}{2 x^{2} y'} + u = 0$

Etapa 6.3.2

Subtraia $\frac{1}{2 x^{2} y'}$ dos dois lados da equação.

$u = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Etapa 6.4

Substitua $y'$ por $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Etapa 6.5

Subtraia $y^{\frac{1}{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.6

Multiplique os dois lados por $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.7

Simplifique.

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Etapa 6.7.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.7.1.1

Simplifique $\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.7.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.7.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.7.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.7.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.7.1.1.3

Cancele o fator comum de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.7.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.7.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x y' = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.7.2.1

Simplifique $- y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.7.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.7.2.1.2

Multiplique $y^{\frac{1}{2}}$ por $y^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.2.1.2.1

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.7.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Etapa 6.7.2.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1 + 1}{2}}$

Etapa 6.7.2.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}$

Etapa 6.7.2.1.2.5

Divida $2$ por $2$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{1}$

Etapa 6.7.2.1.3

Simplifique $- 1 \cdot 2 y^{1}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y$

Etapa 6.7.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x y' = - 2 y$

Etapa 6.8

Divida cada termo em $x y' = - 2 y$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.8.1

Divida cada termo em $x y' = - 2 y$ por $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Etapa 6.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Etapa 6.8.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

Etapa 6.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 y}{x}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$