Cálculo Exemplos

${(2 + 3 x)}^{4} = x y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(2 + 3 x)}^{4}) = \frac{d}{d x} (x y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 + 3 x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + 3 x$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 + 3 x)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.5

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3} \cdot 1$

Etapa 2.2.7

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

$y^{2} + 2 x y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$12 {(2 + 3 x)}^{3} = y^{2} + 2 x y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Etapa 5.2

Simplifique $12 {(2 + 3 x)}^{3}$ .

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Etapa 5.2.1

Reescreva.

$y^{2} + 2 x y y' = 0 + 0 + 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os zeros.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 {(2 + 3 x)}^{3}$

Etapa 5.2.3

Use o teorema binomial.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (2^{3} + 3 \cdot 2^{2} (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Etapa 5.2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 3 \cdot 2^{2} (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Etapa 5.2.4.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 3 \cdot 4 (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Etapa 5.2.4.1.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 12 (3 x) + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Etapa 5.2.4.1.4

Multiplique $3$ por $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 3 \cdot 2 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Etapa 5.2.4.1.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 {(3 x)}^{2} + {(3 x)}^{3})$

Etapa 5.2.4.1.6

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 (3^{2} x^{2}) + {(3 x)}^{3})$

Etapa 5.2.4.1.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 6 (9 x^{2}) + {(3 x)}^{3})$

Etapa 5.2.4.1.8

Multiplique $9$ por $6$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + {(3 x)}^{3})$

Etapa 5.2.4.1.9

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + 3^{3} x^{3})$

Etapa 5.2.4.1.10

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 12 (8 + 36 x + 54 x^{2} + 27 x^{3})$

Etapa 5.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} + 2 x y y' = 12 \cdot 8 + 12 (36 x) + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Etapa 5.2.5

Simplifique.

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Etapa 5.2.5.1

Multiplique $12$ por $8$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 12 (36 x) + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Etapa 5.2.5.2

Multiplique $36$ por $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 12 (54 x^{2}) + 12 (27 x^{3})$

Etapa 5.2.5.3

Multiplique $54$ por $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 12 (27 x^{3})$

Etapa 5.2.5.4

Multiplique $27$ por $12$ .

$y^{2} + 2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3}$

Etapa 5.3

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$ por $2 x y$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 x y y' = 96 + 432 x + 648 x^{2} + 324 x^{3} - y^{2}$ por $2 x y$ .

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{96}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $96$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.1

Fatore $2$ de $96$ .

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 (x y)} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 \cdot 48}{2 (x y)} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{432 x}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $432$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $2$ de $432 x$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 (x y)} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{2 (216 x)}{2 (x y)} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216 x}{x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216 x}{x y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{648 x^{2}}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.4

Cancele o fator comum de $648$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.4.1

Fatore $2$ de $648 x^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{2 (324 x^{2})}{2 (x y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x^{2}}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.5.1

Fatore $x$ de $324 x^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.5.2.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x (y)} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{x (324 x)}{x y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{324 x^{3}}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.6

Cancele o fator comum de $324$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.6.1

Fatore $2$ de $324 x^{3}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.6.2.1

Fatore $2$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{2 (162 x^{3})}{2 (x y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{3}}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.7

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.7.1

Fatore $x$ de $162 x^{3}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.7.2.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x (y)} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{x (162 x^{2})}{x y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.8

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.8.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{2 x y}$

Etapa 5.4.3.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.8.2.1

Fatore $y$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Etapa 5.4.3.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Etapa 5.4.3.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} + \frac{- y}{2 x}$

Etapa 5.4.3.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} - \frac{y}{2 x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{48}{x y} + \frac{216}{y} + \frac{324 x}{y} + \frac{162 x^{2}}{y} - \frac{y}{2 x}$