Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 3}^{20} n (n + 1)$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$n \cdot n + n \cdot 1$

Etapa 1.2

Multiplique $n$ por $n$ .

$n^{2} + n \cdot 1$

Etapa 1.3

Multiplique $n$ por $1$ .

$n^{2} + n$

Etapa 1.4

Reescreva a soma.

$\sum_{n = 3}^{20} n^{2} + n$

Etapa 2

Divida a soma para tornar o valor inicial de $n$ igual a $1$ .

$\sum_{n = 3}^{20} n^{2} + n = \sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n - \sum_{n = 1}^{2} n^{2} + n$

Etapa 3

Avalie $\sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n = \sum_{n = 1}^{20} n^{2} + \sum_{n = 1}^{20} n$

Etapa 3.2

Avalie $\sum_{n = 1}^{20} n^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 3.2.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Cancele o fator comum de $20$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Fatore $2$ de $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Etapa 3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Multiplique $2$ por $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Etapa 3.2.3.2.2

Some $20$ e $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Etapa 3.2.3.2.3

Multiplique $10$ por $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Etapa 3.2.3.2.4

Some $40$ e $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Etapa 3.2.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.3.1

Multiplique $210$ por $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Etapa 3.2.3.3.2

Divida $8610$ por $3$ .

$2870$

Etapa 3.3

Avalie $\sum_{n = 1}^{20} n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 3.3.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{20 (20 + 1)}{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $20$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $2$ de $20 (20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2 (1)}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10 (20 + 1)}{1}$

Etapa 3.3.3.1.2.4

Divida $10 (20 + 1)$ por $1$ .

$10 (20 + 1)$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Some $20$ e $1$ .

$10 \cdot 21$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $10$ por $21$ .

$210$

Etapa 3.4

Adicione os resultados das somas.

$2870 + 210$

Etapa 3.5

Some $2870$ e $210$ .

$3080$

Etapa 4

Avalie $\sum_{n = 1}^{2} n^{2} + n$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Expanda a série para cada valor de $n$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 2$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 2$

Etapa 4.2.2

Some $1$ e $1$ .

$2 + 2^{2} + 2$

Etapa 4.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 + 4 + 2$

Etapa 4.2.4

Some $4$ e $2$ .

$2 + 6$

Etapa 4.2.5

Some $2$ e $6$ .

$8$

Etapa 5

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$3080 - 8$

Etapa 6

Subtraia $8$ de $3080$ .

$3072$