Cálculo Exemplos

$\sqrt{\frac{t}{t^{2} + 1}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{t}{t^{2} + 1}}$ como ${(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = \frac{t}{t^{2} + 1}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{t}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{t}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = t^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9

Diferencie.

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Etapa 9.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2

Multiplique $t^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.5

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.6.1

Some $2 t$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - t (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 10

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 11

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 13

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 14

Subtraia $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 15

Multiplique $\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 16

Mova $2$ para a esquerda de ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 \cdot {(t^{2} + 1)}^{2}} {(\frac{t}{t^{2} + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2}} {(\frac{t^{2} + 1}{t})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 17.2

Aplique a regra do produto a $\frac{t^{2} + 1}{t}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3

Combine os termos.

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Etapa 17.3.1

Multiplique $\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2}}$ por $\frac{{(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- t^{2} + 1) {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t^{2} + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3.2

Mova ${(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3.3

Multiplique ${(t^{2} + 1)}^{2}$ por ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 17.3.3.1

Mova ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 ({(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3.3.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3.3.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 17.3.3.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3.3.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{- t^{2} + 1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.4

Reordene os termos.

$\frac{- t^{2} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 17.5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.5.2

Reordene $- t^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.5.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = t$ .

$\frac{(1 + t) (1 - t)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$