Cálculo Exemplos

$y = \frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x \sin (x)$ e $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.7

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.8

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1.1

Expanda $(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1.2.1

Multiplique $x \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.1.2.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.1.2.3

Multiplique $\cos (x) (x \cos (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1.2.3.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.1.2.3.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.1.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.1.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.2

Mova $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.3

Fatore $x$ de $x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.4

Fatore $x$ de $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.5

Fatore $x$ de $x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.6

Reorganize os termos.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.1.8

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.2

Reordene os termos.

$\frac{x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{\cos (x) (x + \sin (x)) + 1 (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.3.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + \sin (x)$ .

$\frac{(x + \sin (x)) (\cos (x) + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.4

Cancele o fator comum de $\cos (x) + 1$ e ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1

Reordene os termos.

$\frac{(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.4.2

Fatore $1 + \cos (x)$ de $(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.11.4.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.3.1

Fatore $1 + \cos (x)$ de ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Etapa 3.11.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Etapa 3.11.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$