Cálculo Exemplos

$y = x \sqrt{3 x - 2}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 x - 2}$ como ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 2$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 2$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.7.3

Mova ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.7.4

Combine $\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.11

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.12

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.13

Combine frações.

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Etapa 4.13.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.13.2

Combine $\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.13.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 4.15

Multiplique ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.16

Para escrever ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.17

Combine ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.19

Multiplique ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.19.1

Mova ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.19.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.19.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{1} \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20

Simplifique ${(3 x - 2)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x + (3 x - 2) \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21

Mova $2$ para a esquerda de $3 x - 2$ .

$\frac{3 x + 2 \cdot (3 x - 2)}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.22

Simplifique.

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Etapa 4.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.22.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.22.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.22.2.1.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 x + 6 x + 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.22.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{3 x + 6 x - 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.22.2.2

Some $3 x$ e $6 x$ .

$\frac{9 x - 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{9 x - 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x - 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$