Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{16 x^{4}}$ ; $[1, 2]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{16 x^{4}} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{16 x^{4}} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$6, 16 x^{4}, 1 + y = 0$

Etapa 1.2.1.2

Como $6, 16 x^{4}, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $6, 16 x^{4}, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $6, 16 x^{4}, 1$ .

Etapa 1.2.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

$1$ Liste os fatores primos de cada número.

Etapa 1.2.1.4

$6$ tem fatores de $2$ e $3$ .

$2 \cdot 3 + y = 0$

Etapa 1.2.1.5

Os fatores primos de $16$ são $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 1.2.1.5.1

$16$ tem fatores de $2$ e $8$ .

$2 \cdot 8$

Etapa 1.2.1.5.2

$8$ tem fatores de $2$ e $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Etapa 1.2.1.5.3

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Etapa 1.2.1.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Not $p r i m e + y = 0$

Etapa 1.2.1.7

O MMC de $6, 16, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 + y = 0$

Etapa 1.2.1.8

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Etapa 1.2.1.8.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 + y = 0$

Etapa 1.2.1.8.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 3 + y = 0$

Etapa 1.2.1.8.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$16 \cdot 3 + y = 0$

Etapa 1.2.1.8.4

Multiplique $16$ por $3$ .

$48 + y = 0$

Etapa 1.2.1.9

Os fatores para $x^{4}$ são $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $4$ vezes.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

Etapa 1.2.1.10

O MMC de $x^{4}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x \cdot x \cdot x + y = 0$

Etapa 1.2.1.11

Simplifique $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Etapa 1.2.1.11.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x + y = 0$

Etapa 1.2.1.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1.11.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 1.2.1.11.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x + y = 0$

Etapa 1.2.1.11.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1} \cdot x + y = 0$

Etapa 1.2.1.11.2.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x + y = 0$

Etapa 1.2.1.11.3

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.1.11.3.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 1.2.1.11.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} \cdot x + y = 0$

Etapa 1.2.1.11.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3 + 1} + y = 0$

Etapa 1.2.1.11.3.2

Some $3$ e $1$ .

$x^{4} + y = 0$

Etapa 1.2.1.12

O MMC de $6, 16 x^{4}, 1$ é a parte numérica $48$ multiplicada pela parte variável.

$48 x^{4} + y = 0$

Etapa 1.2.2

Multiplique cada termo em $\frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{16 x^{4}} = 0$ por $48 x^{4}$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{16 x^{4}} = 0$ por $48 x^{4}$ .

$\frac{x^{6}}{6} (48 x^{4}) + \frac{1}{16 x^{4}} (48 x^{4}) = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$48 \frac{x^{6}}{6} x^{4} + \frac{1}{16 x^{4}} (48 x^{4}) = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.2.1

Fatore $6$ de $48$ .

$6 (8) \frac{x^{6}}{6} x^{4} + \frac{1}{16 x^{4}} (48 x^{4}) = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$6 \cdot 8 \frac{x^{6}}{6} x^{4} + \frac{1}{16 x^{4}} (48 x^{4}) = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$8 x^{6} x^{4} + \frac{1}{16 x^{4}} (48 x^{4}) = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.3

Multiplique $x^{6}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.2.2.1.3.1

Mova $x^{4}$ .

$8 (x^{4} x^{6}) + \frac{1}{16 x^{4}} (48 x^{4}) = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 x^{4 + 6} + \frac{1}{16 x^{4}} (48 x^{4}) = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.3.3

Some $4$ e $6$ .

$8 x^{10} + \frac{1}{16 x^{4}} (48 x^{4}) = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x^{10} + 48 \frac{1}{16 x^{4}} x^{4} = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.5.1

Fatore $16$ de $48$ .

$8 x^{10} + 16 (3) \frac{1}{16 x^{4}} x^{4} = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.5.2

Fatore $16$ de $16 x^{4}$ .

$8 x^{10} + 16 (3) \frac{1}{16 (x^{4})} x^{4} = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$8 x^{10} + 16 \cdot 3 \frac{1}{16 x^{4}} x^{4} = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$8 x^{10} + 3 \frac{1}{x^{4}} x^{4} = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.6

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$8 x^{10} + \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.7

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.7.1

Cancele o fator comum.

$8 x^{10} + \frac{3}{x^{4}} x^{4} = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2.1.7.2

Reescreva a expressão.

$8 x^{10} + 3 = 0 (48 x^{4})$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Multiplique $0 (48 x^{4})$ .

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Etapa 1.2.2.3.1.1

Multiplique $48$ por $0$ .

$8 x^{10} + 3 = 0 x^{4}$

Etapa 1.2.2.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{4}$ .

$8 x^{10} + 3 = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.3.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$8 x^{10} = - 3$

Etapa 1.2.3.2

Divida cada termo em $8 x^{10} = - 3$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Divida cada termo em $8 x^{10} = - 3$ por $8$ .

$\frac{8 x^{10}}{8} = \frac{- 3}{8}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x^{10}}{8} = \frac{- 3}{8}$

Etapa 1.2.3.2.2.1.2

Divida $x^{10}$ por $1$ .

$x^{10} = \frac{- 3}{8}$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{10} = - \frac{3}{8}$

Etapa 1.2.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[10]{- \frac{3}{8}}$

Etapa 1.2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt[10]{- \frac{3}{8}}$ .

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Etapa 1.2.3.4.1

Reescreva $- 1$ como $i^{10}$ .

$x = \pm \sqrt[10]{i^{10} \frac{3}{8}}$

Etapa 1.2.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt[10]{\frac{3}{8}}$

Etapa 1.2.3.4.3

Reescreva $\sqrt[10]{\frac{3}{8}}$ como $\frac{\sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$

Etapa 1.2.3.4.4

Combine $i$ e $\frac{\sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$

Etapa 1.2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$

Etapa 1.2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$

Etapa 1.2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}, - \frac{i \sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$

Etapa 1.3

Substitua $\frac{i \sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = \frac{i \sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$

$y = 0, x = - \frac{i \sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$

$y = 0, x = \frac{i \sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$

$y = 0, x = - \frac{i \sqrt[10]{3}}{\sqrt[10]{8}}$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{2} \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{16 x^{4}} d x - \int_{1}^{2} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $1$ e $2$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{2} \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{16 x^{4}} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $\frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{16 x^{4}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{16 x^{4}} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} \frac{x^{6}}{6} d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{16 x^{4}} d x$

Etapa 3.4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{2} x^{6} d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{16 x^{4}} d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{6}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{6} \frac{1}{7} x^{7}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{16 x^{4}} d x$

Etapa 3.6

Como $\frac{1}{16}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{16}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \frac{1}{7} x^{7}]_{1}^{2} + \frac{1}{16} \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{4}} d x$

Etapa 3.7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.7.1

Mova $x^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{6} \frac{1}{7} x^{7}]_{1}^{2} + \frac{1}{16} \int_{1}^{2} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Etapa 3.7.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \frac{1}{7} x^{7}]_{1}^{2} + \frac{1}{16} \int_{1}^{2} x^{4 \cdot - 1} d x$

Etapa 3.7.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6} \frac{1}{7} x^{7}]_{1}^{2} + \frac{1}{16} \int_{1}^{2} x^{- 4} d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 4}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{6} \frac{1}{7} x^{7}]_{1}^{2} + \frac{1}{16} - \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{2}$

Etapa 3.9

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.9.1

Avalie $\frac{1}{7} x^{7}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{1}{7} \cdot 2^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) + \frac{1}{16} - \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{2}$

Etapa 3.9.2

Avalie $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{7} \cdot 2^{7} - \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) + \frac{1}{16} (- \frac{1}{3} \cdot 2^{- 3} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3

Simplifique.

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Etapa 3.9.3.1

Eleve $2$ à potência de $7$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{7} \cdot 128 - \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) + \frac{1}{16} (- \frac{1}{3} \cdot 2^{- 3} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.2

Combine $\frac{1}{7}$ e $128$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) + \frac{1}{16} (- \frac{1}{3} \cdot 2^{- 3} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{6} (\frac{128}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1) + \frac{1}{16} (- \frac{1}{3} \cdot 2^{- 3} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{7} - \frac{1}{7}) + \frac{1}{16} (- \frac{1}{3} \cdot 2^{- 3} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{128 - 1}{7} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{3} \cdot 2^{- 3} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.6

Subtraia $1$ de $128$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{127}{7} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{3} \cdot 2^{- 3} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.7

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{127}{7}$ .

$\frac{127}{6 \cdot 7} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{3} \cdot 2^{- 3} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.8

Multiplique $6$ por $7$ .

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{3} \cdot 2^{- 3} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.9

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.11

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{8 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.12

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3})$

Etapa 3.9.3.13

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Etapa 3.9.3.14

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3})$

Etapa 3.9.3.15

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{8})$

Etapa 3.9.3.16

Escreva cada expressão com um denominador comum de $24$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.9.3.16.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{24} + \frac{8}{3 \cdot 8})$

Etapa 3.9.3.16.2

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} (- \frac{1}{24} + \frac{8}{24})$

Etapa 3.9.3.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} \cdot \frac{- 1 + 8}{24}$

Etapa 3.9.3.18

Some $- 1$ e $8$ .

$\frac{127}{42} + \frac{1}{16} \cdot \frac{7}{24}$

Etapa 3.9.3.19

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $\frac{7}{24}$ .

$\frac{127}{42} + \frac{7}{16 \cdot 24}$

Etapa 3.9.3.20

Multiplique $16$ por $24$ .

$\frac{127}{42} + \frac{7}{384}$

Etapa 3.9.3.21

Para escrever $\frac{127}{42}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{64}{64}$ .

$\frac{127}{42} \cdot \frac{64}{64} + \frac{7}{384}$

Etapa 3.9.3.22

Para escrever $\frac{7}{384}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{127}{42} \cdot \frac{64}{64} + \frac{7}{384} \cdot \frac{7}{7}$

Etapa 3.9.3.23

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2688$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.9.3.23.1

Multiplique $\frac{127}{42}$ por $\frac{64}{64}$ .

$\frac{127 \cdot 64}{42 \cdot 64} + \frac{7}{384} \cdot \frac{7}{7}$

Etapa 3.9.3.23.2

Multiplique $42$ por $64$ .

$\frac{127 \cdot 64}{2688} + \frac{7}{384} \cdot \frac{7}{7}$

Etapa 3.9.3.23.3

Multiplique $\frac{7}{384}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{127 \cdot 64}{2688} + \frac{7 \cdot 7}{384 \cdot 7}$

Etapa 3.9.3.23.4

Multiplique $384$ por $7$ .

$\frac{127 \cdot 64}{2688} + \frac{7 \cdot 7}{2688}$

Etapa 3.9.3.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{127 \cdot 64 + 7 \cdot 7}{2688}$

Etapa 3.9.3.25

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.9.3.25.1

Multiplique $127$ por $64$ .

$\frac{8128 + 7 \cdot 7}{2688}$

Etapa 3.9.3.25.2

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{8128 + 49}{2688}$

Etapa 3.9.3.25.3

Some $8128$ e $49$ .

$\frac{8177}{2688}$

Etapa 4