Cálculo Exemplos

$g (θ) = e^{θ} (\tan (θ) - θ)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ é $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , em que $f (θ) = e^{θ}$ e $g (θ) = \tan (θ) - θ$ .

$e^{θ} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) - θ] + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (θ) - θ$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$e^{θ} (\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [- θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Etapa 3

A derivada de $\tan (θ)$ em relação a $θ$ é $\sec^{2} (θ)$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) + \frac{d}{d θ} [- θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- θ$ em relação a $θ$ é $- \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - \frac{d}{d θ} [θ]) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1 \cdot 1) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + (\tan (θ) - θ) \frac{d}{d θ} [e^{θ}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d θ} [a^{θ}]$ é $a^{θ} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + (\tan (θ) - θ) e^{θ}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \cdot - 1 + (\tan (θ) - θ) e^{θ}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \cdot - 1 + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

Etapa 6.3

Combine os termos.

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Etapa 6.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{θ}$ .

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - 1 \cdot e^{θ} + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

Etapa 6.3.2

Reescreva $- 1 e^{θ}$ como $- e^{θ}$ .

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - e^{θ} + \tan (θ) e^{θ} - θ e^{θ}$

Etapa 6.4

Reordene os termos.

$e^{θ} \sec^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ - e^{θ}$

Etapa 6.5

Mova $- e^{θ}$ .

$e^{θ} \sec^{2} (θ) - e^{θ} + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Etapa 6.6

Fatore $e^{θ}$ de $e^{θ} \sec^{2} (θ)$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ)) - e^{θ} + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Etapa 6.7

Fatore $e^{θ}$ de $- e^{θ}$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ)) + e^{θ} \cdot - 1 + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Etapa 6.8

Fatore $e^{θ}$ de $e^{θ} (\sec^{2} (θ)) + e^{θ} \cdot - 1$ .

$e^{θ} (\sec^{2} (θ) - 1) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Etapa 6.9

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$

Etapa 6.10

Reordene os fatores em $e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - e^{θ} θ$ .

$e^{θ} \tan^{2} (θ) + e^{θ} \tan (θ) - θ e^{θ}$