Cálculo Exemplos

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y^{4}}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.4

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} (y^{3} y') + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.5

Combine $y^{3}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4}{4} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.6

Combine $\frac{y^{3} \cdot 4}{4}$ e $y'$ .

$\frac{y^{3} \cdot 4 y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.7

Mova $4$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$\frac{4 \cdot y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.8

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{3} y'}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.8.2

Divida $y^{3} y'$ por $1$ .

$y^{3} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $\frac{1}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{8 y^{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = y^{2}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $y^{2}$ por $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.9

Subtraia $2 y y'$ de $0$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.10

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.10.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Etapa 3.3.11

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.11.1

Fatore $y$ de $- 2 y y'$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Etapa 3.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.11.2.1

Fatore $y$ de $y^{4}$ .

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Etapa 3.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Etapa 3.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Etapa 3.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{3} y' + \frac{1}{8} (- \frac{(2) y'}{y^{3}})$

Etapa 3.3.13

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{2 y'}{y^{3}}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{8 y^{3}}$

Etapa 3.3.14

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.14.1

Fatore $2$ de $2 y'$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{8 y^{3}}$

Etapa 3.3.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.14.2.1

Fatore $2$ de $8 y^{3}$ .

$y^{3} y' - \frac{2 (y')}{2 (4 y^{3})}$

Etapa 3.3.14.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{3} y' - \frac{2 y'}{2 (4 y^{3})}$

Etapa 3.3.14.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ .

$y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, 4 y^{3}, 1$

Etapa 5.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$4 y^{3}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ por $4 y^{3}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $y^{3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} = 1$ por $4 y^{3}$ .

$y^{3} y' (4 y^{3}) - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 y^{3} y' y^{3} - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Etapa 5.3.2.1.2

Multiplique $y^{3}$ por $y^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Mova $y^{3}$ .

$4 (y^{3} y^{3}) y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 y^{3 + 3} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Some $3$ e $3$ .

$4 y^{6} y' - \frac{y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Etapa 5.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $4 y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y'}{4 y^{3}}$ para o numerador.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$4 y^{6} y' + \frac{- y'}{4 y^{3}} (4 y^{3}) = 1 (4 y^{3})$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$4 y^{6} y' - y' = 1 (4 y^{3})$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $4 y^{3}$ por $1$ .

$4 y^{6} y' - y' = 4 y^{3}$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $4 y^{6} y' - y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Fatore $y'$ de $4 y^{6} y'$ .

$y' (4 y^{6}) - y' = 4 y^{3}$

Etapa 5.4.1.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1 = 4 y^{3}$

Etapa 5.4.1.3

Fatore $y'$ de $y' (4 y^{6}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{6} - 1) = 4 y^{3}$

Etapa 5.4.2

Reescreva $4 y^{6}$ como ${(2 y^{3})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1) = 4 y^{3}$

Etapa 5.4.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y' ({(2 y^{3})}^{2} - 1^{2}) = 4 y^{3}$

Etapa 5.4.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 y^{3}$ e $b = 1$ .

$y' ((2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)) = 4 y^{3}$

Etapa 5.4.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$

Etapa 5.4.5

Divida cada termo em $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ por $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.1

Divida cada termo em $y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1) = 4 y^{3}$ por $(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Etapa 5.4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.2.1

Cancele o fator comum de $2 y^{3} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Etapa 5.4.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Etapa 5.4.5.2.2

Cancele o fator comum de $2 y^{3} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Etapa 5.4.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3}}{(2 y^{3} + 1) (2 y^{3} - 1)}$