Cálculo Exemplos

$y^{2} x^{3} = y^{5} + 2 y^{3} - 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2} x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{5} + 2 y^{3} - 2)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = x^{3}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$y^{2} (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 y^{2} x^{2} + x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$3 y^{2} x^{2} + 2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} x^{2} + 2 x^{3} y y'$

Etapa 2.6

Reordene os termos.

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{5} + 2 y^{3} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 y^{4} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$5 y^{4} y' + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 y^{4} y' + 2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' + 0$

Etapa 3.4.2

Some $5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$ e $0$ .

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y' = 5 y^{4} y' + 6 y^{2} y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' = 3 x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y y'$

Etapa 5.2

Subtraia $2 x^{3} y y'$ dos dois lados da equação.

$5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $y y'$ de $5 y^{4} y' + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y y'$ de $5 y^{4} y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + 6 y^{2} y' - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y y'$ de $6 y^{2} y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y y'$ de $- 2 x^{3} y y'$ .

$y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y) + y y' (- 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.3.4

Fatore $y y'$ de $y y' (5 y^{3}) + y y' (6 y)$ .

$y y' (5 y^{3} + 6 y) + y y' (- 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.3.5

Fatore $y y'$ de $y y' (5 y^{3} + 6 y) + y y' (- 2 x^{3})$ .

$y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$ por $y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}) = 3 x^{2} y^{2}$ por $y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})$ .

$\frac{y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 5.4.3.1.1

Fatore $y$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y (3 x^{2} y)}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y (3 x^{2} y)}{y (5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3})}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{3 x^{2} y}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} y}{5 y^{3} + 6 y - 2 x^{3}}$