Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 2}^{4} 5 {(\frac{2}{3})}^{k}$

Etapa 1

Expanda a série para cada valor de $k$ .

$5 {(\frac{2}{3})}^{2} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$5 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Etapa 2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$5 \frac{4}{3^{2}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Etapa 2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$5 (\frac{4}{9}) + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $5 (\frac{4}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Combine $5$ e $\frac{4}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{9} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Etapa 2.1.4.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20}{9} + 5 {(\frac{2}{3})}^{3} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Etapa 2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{20}{9} + 5 \frac{2^{3}}{3^{3}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Etapa 2.1.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{20}{9} + 5 \frac{8}{3^{3}} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Etapa 2.1.7

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{20}{9} + 5 (\frac{8}{27}) + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Etapa 2.1.8

Multiplique $5 (\frac{8}{27})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.8.1

Combine $5$ e $\frac{8}{27}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{5 \cdot 8}{27} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Etapa 2.1.8.2

Multiplique $5$ por $8$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 {(\frac{2}{3})}^{4}$

Etapa 2.1.9

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 \frac{2^{4}}{3^{4}}$

Etapa 2.1.10

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 \frac{16}{3^{4}}$

Etapa 2.1.11

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + 5 (\frac{16}{81})$

Etapa 2.1.12

Multiplique $5 (\frac{16}{81})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.12.1

Combine $5$ e $\frac{16}{81}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + \frac{5 \cdot 16}{81}$

Etapa 2.1.12.2

Multiplique $5$ por $16$ .

$\frac{20}{9} + \frac{40}{27} + \frac{80}{81}$

Etapa 2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{20}{9}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20}{9} \cdot \frac{9}{9} + \frac{40}{27} + \frac{80}{81}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{20}{9}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 9} + \frac{40}{27} + \frac{80}{81}$

Etapa 2.2.3

Multiplique $\frac{40}{27}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 9} + \frac{40}{27} \cdot \frac{3}{3} + \frac{80}{81}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{40}{27}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 9}{9 \cdot 9} + \frac{40 \cdot 3}{27 \cdot 3} + \frac{80}{81}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{20 \cdot 9}{81} + \frac{40 \cdot 3}{27 \cdot 3} + \frac{80}{81}$

Etapa 2.2.6

Reordene os fatores de $27 \cdot 3$ .

$\frac{20 \cdot 9}{81} + \frac{40 \cdot 3}{3 \cdot 27} + \frac{80}{81}$

Etapa 2.2.7

Multiplique $3$ por $27$ .

$\frac{20 \cdot 9}{81} + \frac{40 \cdot 3}{81} + \frac{80}{81}$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{20 \cdot 9 + 40 \cdot 3 + 80}{81}$

Etapa 2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique $20$ por $9$ .

$\frac{180 + 40 \cdot 3 + 80}{81}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $40$ por $3$ .

$\frac{180 + 120 + 80}{81}$

Etapa 2.5

Some $180$ e $120$ .

$\frac{300 + 80}{81}$

Etapa 2.6

Some $300$ e $80$ .

$\frac{380}{81}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{380}{81}$

Forma decimal:

$4.69135802 \dots$

Forma de número misto:

$4 \frac{56}{81}$