Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 4 x}}{4 x + 1}$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x) + 4 x}}{4 x + 1}$

Etapa 1.1.2

Fatore $4 x$ de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x) + 4 x (1)}}{4 x + 1}$

Etapa 1.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x) + 4 x (1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x + 1)}}{4 x + 1}$

Etapa 1.2

Reescreva $4 x (x + 1)$ como $2^{2} (x (x + 1^{2}))$ .

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Etapa 1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x (x + 1)}}{4 x + 1}$

Etapa 1.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x (x + 1^{2})}}{4 x + 1}$

Etapa 1.2.3

Adicione parênteses.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} (x (x + 1^{2}))}}{4 x + 1}$

Etapa 1.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x (x + 1^{2})}}{4 x + 1}$

Etapa 1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{4 x + 1}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x^{2} + x \cdot 1}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x^{2} + x}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x^{2} + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.5

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.5.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3.5.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x + 1)}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 7.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 8

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 9

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 9.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 9.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 9.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 9.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 10

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 11

Avalie o limite.

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Etapa 11.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

Etapa 11.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 11.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 12

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{4 + 0}$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Divida $1 + 0$ por $1$ .

$\frac{2 \frac{\sqrt{1 + 0}}{1}}{4 + 0}$

Etapa 13.2

Divida $\sqrt{1 + 0}$ por $1$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{4 + 0}$

Etapa 13.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4 + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{1 + 0}$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{4 + 0}$

Etapa 13.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{2 \cdot 2 + 0}$

Etapa 13.3.2.2

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 0}$

Etapa 13.3.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 2 + 2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{2 \cdot (2 + 0)}$

Etapa 13.3.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{2 \cdot (2 + 0)}$

Etapa 13.3.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{2 + 0}$

Etapa 13.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

Etapa 13.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Etapa 13.5

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$