Cálculo Exemplos

$\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ é indefinida.

$x = - 1$

Etapa 2

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 2.1

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - \frac{1}{e}}$

Etapa 2.1.1.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.1.2.1

Para escrever $e^{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e}{e} - \frac{1}{e}}$

Etapa 2.1.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e - 1}{e}}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e - 1}$

Etapa 2.1.2.2

Combine os fatores.

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Etapa 2.1.2.2.1

Multiplique $e^{x}$ por $e$ .

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Etapa 2.1.2.2.1.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e^{1} - 1}$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x + 1} - 1}$

Etapa 2.1.2.2.2

Combine $e^{x}$ e $\frac{e}{e^{x + 1} - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e}{e^{x + 1} - 1}$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $e^{x}$ por $e$ .

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Etapa 2.1.2.2.3.1

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e^{1}}{e^{x + 1} - 1}$

Etapa 2.1.2.2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1}$

Etapa 2.2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Etapa 2.2.1.2

Como o expoente $x + 1$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x + 1}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Etapa 2.2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.2.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 2.2.1.3.2

Como o expoente $x + 1$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x + 1}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 2.2.1.3.3

Avalie o limite.

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Etapa 2.2.1.3.3.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.3.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.1.3.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1}$

Etapa 2.2.1.3.3.2.2

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2.1.3.3.2.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2.1.3.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2.1.3.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Etapa 2.2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Etapa 2.2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Etapa 2.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Etapa 2.2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Etapa 2.2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Etapa 2.2.3.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Etapa 2.2.3.7

Multiplique $e^{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Etapa 2.2.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x + 1} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 2.2.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

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Etapa 2.2.3.9.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.2.3.9.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 2.2.3.9.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 2.2.3.9.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 2.2.3.9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 2.2.3.9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 2.2.3.9.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 2.2.3.9.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 2.2.3.9.6

Multiplique $e^{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 2.2.3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + 0}$

Etapa 2.2.3.11

Some $e^{x + 1}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $e^{x + 1}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} 1$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$1$

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Etapa 3.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Etapa 3.4

Como o expoente $x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Etapa 3.5

Avalie o limite.

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Etapa 3.5.1

Avalie o limite de $e^{- 1}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{0}{0 - e^{- 1}}$

Etapa 3.5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{0 - \frac{1}{e}}$

Etapa 3.5.2.1.2

Subtraia $\frac{1}{e}$ de $0$ .

$\frac{0}{- \frac{1}{e}}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$0 (- e)$

Etapa 3.5.2.3

Multiplique $0 (- e)$ .

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Etapa 3.5.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 e$

Etapa 3.5.2.3.2

Multiplique $0$ por $e$ .

$0$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 1, 0$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 1$

Assíntotas horizontais: $y = 1, 0$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7