Cálculo Exemplos

$\frac{12}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{12}{y^{2} + 1}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ .

$\frac{12}{y^{2} + 1} = x$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y^{2} + 1, 1$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y^{2} + 1, 1$

Etapa 2.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y^{2} + 1$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ por $y^{2} + 1$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{12}{y^{2} + 1} = x$ por $y^{2} + 1$ .

$\frac{12}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1) = x (y^{2} + 1)$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1) = x (y^{2} + 1)$

Etapa 2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$12 = x (y^{2} + 1)$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$12 = x y^{2} + x \cdot 1$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$12 = x y^{2} + x$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a equação como $x y^{2} + x = 12$ .

$x y^{2} + x = 12$

Etapa 2.4.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x y^{2} = 12 - x$

Etapa 2.4.3

Divida cada termo em $x y^{2} = 12 - x$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Divida cada termo em $x y^{2} = 12 - x$ por $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 2.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 2.4.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 2.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = \frac{12}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 2.4.3.3.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{12}{x} - 1$

Etapa 2.4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1}$

Etapa 2.4.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

Etapa 2.4.5.2

Combine $- 1$ e $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{12}{x} + \frac{- x}{x}}$

Etapa 2.4.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{12 - x}{x}}$

Etapa 2.4.5.4

Reescreva $\sqrt{\frac{12 - x}{x}}$ como $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 2.4.5.5

Multiplique $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 2.4.5.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.6.1

Multiplique $\frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 2.4.5.6.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Etapa 2.4.5.6.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Etapa 2.4.5.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.4.5.6.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 2.4.5.6.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.4.5.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.4.5.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.5.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.5.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Etapa 2.4.5.6.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{\sqrt{12 - x} \sqrt{x}}{x}$

Etapa 2.4.5.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(12 - x) x}}{x}$

Etapa 2.4.5.8

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(12 - x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Etapa 2.4.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.4.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Etapa 2.4.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Etapa 2.4.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(0, 12]$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ .

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Etapa 4.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x (12 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x (12 - x) \geq 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$12 - x = 0$

Etapa 4.3.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.3.2.3

Defina $12 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.2.3.1

Defina $12 - x$ como igual a $0$ .

$12 - x = 0$

Etapa 4.3.2.3.2

Resolva $12 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$- x = - 12$

Etapa 4.3.2.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 12$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 12$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 12}{- 1}$

Etapa 4.3.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 12}{- 1}$

Etapa 4.3.2.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 1}$

Etapa 4.3.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.3.1

Divida $- 12$ por $- 1$ .

$x = 12$

Etapa 4.3.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (12 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 0, 12$

Etapa 4.3.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 12$

$x > 12$

Etapa 4.3.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.3.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 4.3.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) (12 - (- 2)) \geq 0$

Etapa 4.3.2.6.1.3

O lado esquerdo $- 28$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.2.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 12$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 12$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 4.3.2.6.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$(2) (12 - (2)) \geq 0$

Etapa 4.3.2.6.2.3

O lado esquerdo $20$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.3.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 12$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.3.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 12$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 14$

Etapa 4.3.2.6.3.2

Substitua $x$ por $14$ na desigualdade original.

$(14) (12 - (14)) \geq 0$

Etapa 4.3.2.6.3.3

O lado esquerdo $- 28$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 12$ Verdadeiro

$x > 12$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 12$ Verdadeiro

$x > 12$ Falso

Etapa 4.3.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x \leq 12$

Etapa 4.3.3

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4.3.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, 12]$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 4.4.1

Defina o denominador em $\frac{12}{x^{2} + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 4.4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 4.4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 4.4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 4.4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 4.4.3

O domínio consiste em números reais apenas.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ é o intervalo de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ é o domínio de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{12}{x^{2} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (12 - x)}}{x}$

Etapa 5