Cálculo Exemplos

$f (x) = \sec (x)$ , $x = \frac{π}{4}$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Substitua $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sec (\frac{π}{4})$

Etapa 1.2.2

Simplifique $\sec (\frac{π}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.2.2.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 1.2.2.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 1.2.2.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 1.2.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 1.2.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 1.2.2.3.6.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.2.4.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$y = \sqrt{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{4}$ e $y = \sqrt{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 2.2

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{4}$ .

$\sec (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.4.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 2.3.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\sqrt{2} \cdot 1$

Etapa 2.3.6

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\sqrt{2}$ e um ponto determinado $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \sqrt{2} = 0 + 0 + \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- \frac{π}{4})$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{π}{4}$ .

$y - \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4}$

Etapa 3.3.2

Some $\sqrt{2}$ aos dois lados da equação.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para escrever $\sqrt{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.3.3.2

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Etapa 3.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Etapa 3.3.3.4

Mova $4$ para a esquerda de $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{2} π$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) + 4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.3.3.6

Fatore $- 1$ de $4 \sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 3.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (\sqrt{2} π) - (- 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 3.3.3.8

Reescreva $- (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ como $- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 1 (\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 3.3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4