Cálculo Exemplos

$f (x) = 1 + 3 e^{x}$ ; $x = 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = 1 + 3 e^{1}$

Etapa 1.2

Simplifique.

$y = 1 + 3 e$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 1 + 3 e$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 3 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Etapa 2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + 3 e^{x}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $3 e^{x}$ .

$3 e^{x}$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$3 e^{1}$

Etapa 2.5

Simplifique.

$3 e$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $3 e$ e um ponto determinado $(1, 1 + 3 e)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1 + 3 e) = 3 e \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 - 3 e = 3 e \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $3 e \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 - 3 e = 0 + 0 + 3 e \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 - 3 e = 3 e \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 - 3 e = 3 e x + 3 e \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y - 1 - 3 e = 3 e x - 3 e$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y - 3 e = 3 e x - 3 e + 1$

Etapa 3.3.2.2

Some $3 e$ aos dois lados da equação.

$y = 3 e x - 3 e + 1 + 3 e$

Etapa 3.3.2.3

Combine os termos opostos em $3 e x - 3 e + 1 + 3 e$ .

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Etapa 3.3.2.3.1

Some $- 3 e$ e $3 e$ .

$y = 3 e x + 0 + 1$

Etapa 3.3.2.3.2

Some $3 e x$ e $0$ .

$y = 3 e x + 1$

Etapa 3.3.3

Mova $e$ .

$y = 3 x e + 1$

Etapa 4