Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{e^{x}}$ $x = 1$

Etapa 1

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{e^{x}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$

Etapa 1.2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva $x^{e^{x}}$ como $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

Etapa 1.2.2

Expanda $\ln (x^{e^{x}})$ movendo $e^{x}$ para fora do logaritmo.

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 1.5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 1.6

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 1.7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Etapa 1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 1.8.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.2.1

Combine $\frac{e^{x}}{x}$ e $2$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x} e^{e^{x} \ln (x)} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 1.8.2.2

Combine $\frac{e^{x} \cdot 2}{x}$ e $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2 e^{e^{x} \ln (x)}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 1.8.2.3

Multiplique $e^{x}$ por $e^{e^{x} \ln (x)}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.2.3.1

Mova $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 1.8.2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 1.8.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $e^{e^{x} \ln (x) + x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Etapa 1.8.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Etapa 1.8.2.6

Para escrever $2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Etapa 1.8.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Etapa 1.8.3

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

Etapa 2

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Remova os parênteses.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Etapa 3.2

Divida $2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$ por $1$ .

$f' (1) = 2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Simplifique.

$f' (1) = 2 e^{1 + e \ln (1)} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Etapa 4.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + e \cdot 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $e$ por $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Etapa 4.2

Some $1$ e $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Etapa 4.3

Simplifique.

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (1) = 2 e \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Etapa 4.5

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Etapa 4.6

Multiplique $2 e \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$f' (1) = 0 e + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $0$ por $e$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Etapa 4.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Simplifique.

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \ln (1) + 1}$

Etapa 4.7.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \cdot 0 + 1}$

Etapa 4.7.3

Multiplique $e$ por $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{0 + 1}$

Etapa 4.8

Some $0$ e $1$ .

$f' (1) = 0 + 2 e$

Etapa 4.9

Simplifique.

$f' (1) = 0 + 2 e$

Etapa 5

Some $0$ e $2 e$ .

$f' (1) = 2 e$