Cálculo Exemplos

$p = \frac{\sin (q) + \cos (q)}{\cos (q)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\sin (q) + \cos (q)}{\cos (q)})$

Etapa 2

A derivada de $p$ em relação a $q$ é $p'$ .

$p'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ é $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ , em que $f (q) = \sin (q) + \cos (q)$ e $g (q) = \cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) + \cos (q)] - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (q) + \cos (q)$ com relação a $q$ é $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.3

A derivada de $\sin (q)$ em relação a $q$ é $\cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.4

A derivada de $\cos (q)$ em relação a $q$ é $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.5

A derivada de $\cos (q)$ em relação a $q$ é $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) (- \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.6

Multiplique.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (q) (\cos (q) - \sin (q)) + 1 (\sin (q) + \cos (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $\sin (q) + \cos (q)$ por $1$ .

$\frac{\cos (q) (\cos (q) - \sin (q)) + (\sin (q) + \cos (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (q) \cos (q) + \cos (q) (- \sin (q)) + (\sin (q) + \cos (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (q) \cos (q) + \cos (q) (- \sin (q)) + \sin (q) \sin (q) + \cos (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.3.1

Combine os termos opostos em $\cos (q) \cos (q) + \cos (q) (- \sin (q)) + \sin (q) \sin (q) + \cos (q) \sin (q)$ .

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Etapa 3.7.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\cos (q) (- \sin (q))$ e $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) \cos (q) - \cos (q) \sin (q) + \sin (q) \sin (q) + \cos (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.1.2

Some $- \cos (q) \sin (q)$ e $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) + 0}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.1.3

Some $\cos (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q)$ e $0$ .

$\frac{\cos (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.3.2.1

Multiplique $\cos (q) \cos (q)$ .

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Etapa 3.7.3.2.1.1

Eleve $\cos (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.2.1.2

Eleve $\cos (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (q) \cos^{1} (q) + \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\cos (q)}^{1 + 1} + \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (q) + \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.2.2

Multiplique $\sin (q) \sin (q)$ .

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Etapa 3.7.3.2.2.1

Eleve $\sin (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (q) + \sin^{1} (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.2.2.2

Eleve $\sin (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (q) + \sin^{1} (q) \sin^{1} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.2.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos^{2} (q) + {\sin (q)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (q) + \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.3

Reorganize os termos.

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.3.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1}{\cos^{2} (q)}$

Etapa 3.7.4

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (q)}$ em $\sec^{2} (q)$ .

$\sec^{2} (q)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$p' = \sec^{2} (q)$

Etapa 5

Substitua $p'$ por $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = \sec^{2} (q)$