Cálculo Exemplos

$p = \frac{6 \sqrt[6]{q}}{1 - q}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[6]{q}$ como $q^{\frac{1}{6}}$ .

$p = \frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q})$

Etapa 3

A derivada de $p$ em relação a $q$ é $p'$ .

$p'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Como $6$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $\frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}$ em relação a $q$ é $6 \frac{d}{d q} [\frac{q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}]$ .

$6 \frac{d}{d q} [\frac{q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ é $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ , em que $f (q) = q^{\frac{1}{6}}$ e $g (q) = 1 - q$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{d}{d q} [q^{\frac{1}{6}}] - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ é $n q^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{6}$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} - 1}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{6}{6}$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1 - 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.7.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{- 5}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.8

Combine frações.

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Etapa 4.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{- \frac{5}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.8.2

Combine $\frac{1}{6}$ e $q^{- \frac{5}{6}}$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{q^{- \frac{5}{6}}}{6} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.8.3

Mova $q^{- \frac{5}{6}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - q$ com relação a $q$ é $\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [- q]$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [- q])}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.10

Como $1$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $1$ em relação a $q$ é $0$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (0 + \frac{d}{d q} [- q])}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.11

Some $0$ e $\frac{d}{d q} [- q]$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [- q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.12

Como $- 1$ é constante em relação a $q$ , a derivada de $- q$ em relação a $q$ é $- \frac{d}{d q} [q]$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (- \frac{d}{d q} [q])}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.13

Multiplique.

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Etapa 4.13.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 1 q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.13.2

Multiplique $q^{\frac{1}{6}}$ por $1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [q]}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ é $n q^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}} \cdot 1}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.15

Combine frações.

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Etapa 4.15.1

Multiplique $q^{\frac{1}{6}}$ por $1$ .

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.15.2

Combine $6$ e $\frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$ .

$\frac{6 ((1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}})}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16

Simplifique.

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Etapa 4.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (1 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}})}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (1 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.16.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.16.3.1.1

Multiplique $\frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ por $1$ .

$\frac{6 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 4.16.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.3

Combine $\frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ e $q$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- \frac{q}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.4

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 4.16.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{q}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ para o numerador.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 \frac{- q}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 \frac{- q}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + \frac{- q}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.5

Mova $q^{\frac{5}{6}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q \cdot q^{- \frac{5}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.6

Multiplique $q$ por $q^{- \frac{5}{6}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.16.3.1.6.1

Mova $q^{- \frac{5}{6}}$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - (q^{- \frac{5}{6}} q) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.6.2

Multiplique $q^{- \frac{5}{6}}$ por $q$ .

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Etapa 4.16.3.1.6.2.1

Eleve $q$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - (q^{- \frac{5}{6}} q^{1}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{- \frac{5}{6} + 1} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{- \frac{5}{6} + \frac{6}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{- 5 + 6}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.1.6.5

Some $- 5$ e $6$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.3.2

Some $- q^{\frac{1}{6}}$ e $6 q^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4

Combine os termos.

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Etapa 4.16.4.1

Multiplique $\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$ por $\frac{q^{\frac{5}{6}}}{q^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{q^{\frac{5}{6}}}{q^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4.2

Combine.

$\frac{q^{\frac{5}{6}} (\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{q^{\frac{5}{6}} \frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4.4

Cancele o fator comum de $q^{\frac{5}{6}}$ .

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Etapa 4.16.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{q^{\frac{5}{6}} \frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4.5

Multiplique $q^{\frac{5}{6}}$ por $q^{\frac{1}{6}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.16.4.5.1

Mova $q^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{1 + q^{\frac{1}{6}} q^{\frac{5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + q^{\frac{1}{6} + \frac{5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + q^{\frac{1 + 5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4.5.4

Some $1$ e $5$ .

$\frac{1 + q^{\frac{6}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4.5.5

Divida $6$ por $6$ .

$\frac{1 + q^{1} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4.6

Simplifique $q^{1} \cdot 5$ .

$\frac{1 + q \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.4.7

Mova $5$ para a esquerda de $q$ .

$\frac{1 + 5 q}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 4.16.5

Reordene os termos.

$\frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$p' = \frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

Etapa 6

Substitua $p'$ por $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = \frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$