Cálculo Exemplos

$y = 3 t {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t {(2 t^{2} - 7)}^{3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{2} - 7)}^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{2} - 7)}^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ .

$3 (t \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 7)}^{3}] + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 2 t^{2} - 7$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 t^{2} - 7$ .

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t^{2} - 7$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{2} - 7$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{2}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (4 t + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.5

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (4 t + 0)) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.6.1

Some $4 t$ e $0$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (4 t)) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$3 (t (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2} t) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$3 (t^{1} t (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.6

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$3 (t^{1} t^{1} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (t^{1 + 1} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.8

Some $1$ e $1$ .

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 3.10

Multiplique ${(2 t^{2} - 7)}^{3}$ por $1$ .

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3})$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2})) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

Etapa 3.11.2

Multiplique $12$ por $3$ .

$36 (t^{2} ({(2 t^{2} - 7)}^{2})) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

Etapa 3.11.3

Fatore $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ de $36 t^{2} {(2 t^{2} - 7)}^{2} + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ .

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Etapa 3.11.3.1

Fatore $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ de $36 t^{2} {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

Etapa 3.11.3.2

Fatore $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ de $3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.3.3

Fatore $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ de $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 t^{2} - 7)$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2} + 2 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.4

Some $12 t^{2}$ e $2 t^{2}$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.5

Reescreva ${(2 t^{2} - 7)}^{2}$ como $(2 t^{2} - 7) (2 t^{2} - 7)$ .

$3 ((2 t^{2} - 7) (2 t^{2} - 7)) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.6

Expanda $(2 t^{2} - 7) (2 t^{2} - 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.11.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 t^{2} (2 t^{2} - 7) - 7 (2 t^{2} - 7)) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2} - 7)) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.11.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.11.7.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 (2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.7.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.11.7.1.2.1

Mova $t^{2}$ .

$3 (2 \cdot 2 (t^{2} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (2 \cdot 2 t^{2 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.7.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$3 (2 \cdot 2 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.7.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 (4 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.7.1.4

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$3 (4 t^{4} - 14 t^{2} - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.7.1.5

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$3 (4 t^{4} - 14 t^{2} - 14 t^{2} - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.7.1.6

Multiplique $- 7$ por $- 7$ .

$3 (4 t^{4} - 14 t^{2} - 14 t^{2} + 49) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.7.2

Subtraia $14 t^{2}$ de $- 14 t^{2}$ .

$3 (4 t^{4} - 28 t^{2} + 49) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 (4 t^{4}) + 3 (- 28 t^{2}) + 3 \cdot 49) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.9

Simplifique.

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Etapa 3.11.9.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$(12 t^{4} + 3 (- 28 t^{2}) + 3 \cdot 49) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.9.2

Multiplique $- 28$ por $3$ .

$(12 t^{4} - 84 t^{2} + 3 \cdot 49) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.9.3

Multiplique $3$ por $49$ .

$(12 t^{4} - 84 t^{2} + 147) (14 t^{2} - 7)$

Etapa 3.11.10

Expanda $(12 t^{4} - 84 t^{2} + 147) (14 t^{2} - 7)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$12 t^{4} (14 t^{2}) + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.11.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$12 \cdot 14 t^{4} t^{2} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.2

Multiplique $t^{4}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.11.11.2.1

Mova $t^{2}$ .

$12 \cdot 14 (t^{2} t^{4}) + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 \cdot 14 t^{2 + 4} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.2.3

Some $2$ e $4$ .

$12 \cdot 14 t^{6} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.3

Multiplique $12$ por $14$ .

$168 t^{6} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.4

Multiplique $- 7$ por $12$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 t^{2} t^{2} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.6

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.11.11.6.1

Mova $t^{2}$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 (t^{2} t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 t^{2 + 2} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.6.3

Some $2$ e $2$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 t^{4} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.7

Multiplique $- 84$ por $14$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.8

Multiplique $- 7$ por $- 84$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} + 588 t^{2} + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.9

Multiplique $14$ por $147$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} + 588 t^{2} + 2058 t^{2} + 147 \cdot - 7$

Etapa 3.11.11.10

Multiplique $147$ por $- 7$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} + 588 t^{2} + 2058 t^{2} - 1029$

Etapa 3.11.12

Subtraia $1176 t^{4}$ de $- 84 t^{4}$ .

$168 t^{6} - 1260 t^{4} + 588 t^{2} + 2058 t^{2} - 1029$

Etapa 3.11.13

Some $588 t^{2}$ e $2058 t^{2}$ .

$168 t^{6} - 1260 t^{4} + 2646 t^{2} - 1029$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 168 t^{6} - 1260 t^{4} + 2646 t^{2} - 1029$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 168 t^{6} - 1260 t^{4} + 2646 t^{2} - 1029$