Cálculo Exemplos

$y = e^{p} (p + p \sqrt{p})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{p}$ como $p^{\frac{1}{2}}$ .

$y = e^{p} (p + p \cdot p^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d p} (y) = \frac{d}{d p} (e^{p} (p + p \cdot p^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $p$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Multiplique $p$ por $p^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $p$ por $p^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Eleve $p$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1} p^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1 + \frac{1}{2}})]$

Etapa 4.1.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

Etapa 4.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2 + 1}{2}})]$

Etapa 4.1.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{3}{2}})]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ é $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ , em que $f (p) = e^{p}$ e $g (p) = p + p^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{p} \frac{d}{d p} [p + p^{\frac{3}{2}}] + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Etapa 4.3

Diferencie.

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Etapa 4.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $p + p^{\frac{3}{2}}$ com relação a $p$ é $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]$ .

$e^{p} (\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ é $n p^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{p} (1 + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ é $n p^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Etapa 4.7.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{1}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Etapa 4.8

Combine $\frac{3}{2}$ e $p^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ é $a^{p} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

Etapa 4.10

Simplifique.

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Etapa 4.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

Etapa 4.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

Etapa 4.10.3

Combine os termos.

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Etapa 4.10.3.1

Multiplique $e^{p}$ por $1$ .

$e^{p} + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

Etapa 4.10.3.2

Combine $e^{p}$ e $\frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

Etapa 4.10.4

Reordene os termos.

$e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d p}$ .

$\frac{d y}{d p} = e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$