Cálculo Exemplos

$z = x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}})$

Etapa 2

A derivada de $z$ em relação a $x$ é $z'$ .

$z'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 - x - 4 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x - 4 x^{2}]}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x - 4 x^{2}]}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x - 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.7

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.9

Mova $2$ para a esquerda de $1 - x - 4 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (0 - 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.11

Subtraia $1$ de $0$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2.12

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x) + 2 (- 4 x^{2})) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x \cdot x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 (x^{1} x) + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{1 + 1} + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.6

Some $1$ e $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.7

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{2} x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.10

Some $1$ e $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + 1 x^{2} - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.12

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.13

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{2} x}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{1 + 2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.16

Some $1$ e $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{3}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.17

Some $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 8 x^{3} - x^{2} + 8 x^{3}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.18

Some $- 8 x^{3}$ e $8 x^{3}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - x^{2} + 0}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.19

Some $2 x - x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.20

Para escrever $3 x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}} + \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.4.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z' = \frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$