Cálculo Exemplos

$y = \arctan (\sqrt{4 t})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 t}$ como ${(4 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arctan ({(4 t)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\arctan ({(4 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $4$ de $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(4 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a regra do produto a $4 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan (4^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d t} [\arctan (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d t} [\arctan (2^{1} t^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.4

Avalie o expoente.

$\frac{d}{d t} [\arctan (2 t^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \arctan (t)$ e $g (t) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.5.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.6

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Fatore $2$ de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (t^{\frac{1}{2}}))}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.6.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Aplique a regra do produto a $2 (t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.6.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.6.2.3

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.6.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.6.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + 4 t^{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.7

Simplifique.

$\frac{1}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.8

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + 4 t} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.9

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + 4 t}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 4.11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4.12

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.14.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 4.14.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 4.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 4.16

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 t} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.17

Multiplique $\frac{2}{1 + 4 t}$ por $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{(1 + 4 t) \cdot 2}$

Etapa 4.18

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.18.1

Mova $2$ para a esquerda de $1 + 4 t$ .

$\frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + 4 t)}$

Etapa 4.18.2

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.19

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21

Simplifique.

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Etapa 4.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{1 t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21.2

Combine os termos.

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Etapa 4.21.2.1

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21.2.2

Multiplique $t$ por $t^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.21.2.2.1

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

Etapa 4.21.2.2.2

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $t$ .

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Etapa 4.21.2.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

Etapa 4.21.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 4.21.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 4.21.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 4.21.2.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.21.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.21.4.1

Fatore $t^{\frac{1}{2}}$ de $4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.21.4.1.1

Fatore $t^{\frac{1}{2}}$ de $4 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21.4.1.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Etapa 4.21.4.1.3

Fatore $t^{\frac{1}{2}}$ de $t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}}) + t^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}} + 1)}$

Etapa 4.21.4.2

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t^{1} + 1)}$

Etapa 4.21.4.3

Simplifique.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t + 1)}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (4 t + 1)}$