Cálculo Exemplos

$f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Combine frações.

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Etapa 1.3.2.1

Combine $e^{- \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.3.6

Multiplique $e^{- \frac{x}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2.2

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2.4

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2.8

Combine $e^{- \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2.9

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.2.10

Multiplique $e^{- \frac{x}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Etapa 2.3.2

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})$

Etapa 2.3.5

Combine $e^{- \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 2.4.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 2.4.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 2.4.2.5

Combine $e^{- \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 2.4.2.6

Subtraia $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ de $- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - 2 \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 2.4.2.7

Combine $- 2$ e $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- 2 e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Etapa 2.4.2.8

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 2.4.2.8.1

Fatore $2$ de $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2}$

Etapa 2.4.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.2.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 (1)}$

Etapa 2.4.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- e^{- \frac{x}{2}}}{1}$

Etapa 2.4.2.8.2.4

Divida $- e^{- \frac{x}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - e^{- \frac{x}{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

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Etapa 4.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Combine frações.

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Etapa 4.1.3.2.1

Combine $e^{- \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.3.6

Multiplique $e^{- \frac{x}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $e^{- \frac{x}{2}}$ de $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $e^{- \frac{x}{2}}$ de $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Etapa 5.2.2

Multiplique por $1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $e^{- \frac{x}{2}}$ de $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{- \frac{x}{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $e^{- \frac{x}{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{- \frac{x}{2}} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- \frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

Defina $- \frac{x}{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $- \frac{x}{2} + 1$ como igual a $0$ .

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $- \frac{x}{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{x}{2} = - 1$

Etapa 5.5.2.2

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.5.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{x}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Etapa 5.5.2.3.1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Etapa 5.5.2.3.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Etapa 5.5.2.3.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - x = - 2 \cdot - 1$

Etapa 5.5.2.3.1.1.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - 2 \cdot - 1$

Etapa 5.5.2.3.1.1.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = - 2 \cdot - 1$

Etapa 5.5.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x = 2$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{(2) e^{- \frac{2}{2}}}{4} - e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Mova $e^{- \frac{2}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 9.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 9.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.2.1

Fatore $2$ de $4 e^{1}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 9.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 9.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 9.1.4

Simplifique.

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 9.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1 \cdot 1}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1}$

Etapa 9.1.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e}$

Etapa 9.2

Para escrever $- \frac{1}{e}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 9.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 e$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 9.3.1

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{e \cdot 2}$

Etapa 9.3.2

Reordene os fatores de $e \cdot 2$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{2 e}$

Etapa 9.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 2}{2 e}$

Etapa 9.5

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2 e}$

Etapa 9.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2 e}$

Etapa 10

$x = 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = (2) \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (2) = 2 \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Etapa 11.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

Etapa 11.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1}$

Etapa 11.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

Etapa 11.2.4

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (2) = \frac{2}{e}$

Etapa 11.2.5

A resposta final é $\frac{2}{e}$ .

$y = \frac{2}{e}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$ .

$(2, \frac{2}{e})$ é um máximo local

Etapa 13