Cálculo Exemplos

$y = 2 x - \tan (x)$

Etapa 1

Escreva $y = 2 x - \tan (x)$ como uma função.

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \tan (x)$

Etapa 2.1.3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Diferencie.

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Etapa 2.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - \sec^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sec^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 2.2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 2.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Etapa 2.2.2.3

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Etapa 2.2.2.4

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Etapa 2.2.2.5

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Etapa 2.2.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Etapa 2.2.2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Etapa 2.2.2.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 2.2.3

Subtraia $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Etapa 3.3

Defina $\sec^{2} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Defina $\sec^{2} (x)$ como igual a $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

Etapa 3.3.2

Resolva $\sec^{2} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sec (x) = \pm 0$

Etapa 3.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\sec (x) = 0$

Etapa 3.3.2.3

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 3.4

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $\tan (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 3.4.2.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 3.4.2.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 3.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.4.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.4.2.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ verdadeiro.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.6

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

O ponto encontrado ao substituir em $f (x) = 2 x - \tan (x)$ é $(,)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(,)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty,)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = - 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Etapa 6.2

A resposta final é $- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Etapa 6.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $0.20268949$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty,)$ .

Acréscimo em $(- \infty,)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = - 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Etapa 7.2

A resposta final é $- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Etapa 7.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $- 0.20268949$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(, \infty)$ .

Decréscimo em $(, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(,)$ .

$(,)$

Etapa 9