Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 40}{x^{2}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 3 x - 40$ e $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x - 40) - (x^{2} + 3 x - 40) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x - 40) - (x^{2} + 3 x - 40) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x - 40) - (x^{2} + 3 x - 40) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x - 40$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 40]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 40)) - (x^{2} + 3 x - 40) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 40)) - (x^{2} + 3 x - 40) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 40)) - (x^{2} + 3 x - 40) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 40)) - (x^{2} + 3 x - 40) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} (- 40)) - (x^{2} + 3 x - 40) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Como $- 40$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 40$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 3 + 0) - (x^{2} + 3 x - 40) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Some $2 x + 3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 3) - (x^{2} + 3 x - 40) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 3) - (x^{2} + 3 x - 40) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.10

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.10.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 3) - 2 (x^{2} + 3 x - 40) x}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.10.2

Fatore $x$ de $x^{2} (2 x + 3) - 2 (x^{2} + 3 x - 40) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.10.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (2 x + 3)$ .

$f' (x) = \frac{x (x (2 x + 3)) - 2 (x^{2} + 3 x - 40) x}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.10.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (x^{2} + 3 x - 40) x$ .

$f' (x) = \frac{x (x (2 x + 3)) + x (- 2 (x^{2} + 3 x - 40))}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.10.2.3

Fatore $x$ de $x (x (2 x + 3)) + x (- 2 (x^{2} + 3 x - 40))$ .

$f' (x) = \frac{x (x (2 x + 3) - 2 (x^{2} + 3 x - 40))}{x^{4}}$

Etapa 1.1.1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x (x (2 x + 3) - 2 (x^{2} + 3 x - 40))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{x (x (2 x + 3) - 2 (x^{2} + 3 x - 40))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x (2 x + 3) - 2 (x^{2} + 3 x - 40)}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 3 - 2 (x^{2} + 3 x - 40)}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 3 - 2 x^{2} - 2 (3 x) - 2 \cdot - 40}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot 3 - 2 x^{2} - 2 (3 x) - 2 \cdot - 40}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.1.4.3.1.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 2 x^{2} - 2 (3 x) - 2 \cdot - 40}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot 3 - 2 x^{2} - 2 (3 x) - 2 \cdot - 40}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.3.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 3 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (3 x) - 2 \cdot - 40}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.3.1.4

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 2 \cdot - 40}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 40$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x + 80}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x + 80$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.3.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 0 - 6 x + 80}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.3.2.2

Some $3 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 6 x + 80}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.3.3

Subtraia $6 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 80}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) + 80}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.5

Reescreva $80$ como $- 1 (- 80)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 80}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 80)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x - 80)}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.7

Reescreva $- (3 x - 80)$ como $- 1 (3 x - 80)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x - 80)}{x^{3}}$

Etapa 1.1.1.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{3 x - 80}{x^{3}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{3 x - 80}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{3 x - 80}{x^{3}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 x - 80) - (3 x - 80) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 x - 80) - (3 x - 80) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (3 x - 80) - (3 x - 80) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 80$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 80]$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 80)) - (3 x - 80) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 80)) - (3 x - 80) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 80)) - (3 x - 80) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (3 + \frac{d}{d x} (- 80)) - (3 x - 80) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.6

Como $- 80$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 80$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (3 + 0) - (3 x - 80) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.7.1

Some $3$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \cdot 3 - (3 x - 80) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.7.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot x^{3} - (3 x - 80) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - (3 x - 80) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - 3 (3 x - 80) x^{2}}{x^{6}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - 3 (3 x - 80) x^{2}}{x^{6}} + \frac{3 x - 80}{x^{3}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.3.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.11.1

Multiplique $\frac{3 x - 80}{x^{3}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - 3 (3 x - 80) x^{2}}{x^{6}} + 0$

Etapa 1.1.2.3.11.2

Some $- \frac{3 x^{3} - 3 (3 x - 80) x^{2}}{x^{6}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - 3 (3 x - 80) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} + (- 3 (3 x) - 3 \cdot - 80) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - 3 (3 x) x^{2} - 3 \cdot (- 80 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.3.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.3.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x)) - 3 \cdot (- 80 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x)) - 3 \cdot (- 80 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{2 + 1}) - 3 \cdot (- 80 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{3}) - 3 \cdot (- 80 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - 9 x^{3} - 3 \cdot (- 80 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 80$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x^{3} - 9 x^{3} + 240 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.3.2

Subtraia $9 x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{3} + 240 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.4

Fatore $6 x^{2}$ de $- 6 x^{3} + 240 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.4.1

Fatore $6 x^{2}$ de $- 6 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x^{2} (- x) + 240 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.4.2

Fatore $6 x^{2}$ de $240 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (40)}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.4.3

Fatore $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (40)$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x^{2} (- x + 40)}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.5.1

Fatore $x^{2}$ de $6 x^{2} (- x + 40)$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (6 (- x + 40))}{x^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.5.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (6 (- x + 40))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (6 (- x + 40))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{6 (- x + 40)}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{6 (- (x) + 40)}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.7

Reescreva $40$ como $- 1 (- 40)$ .

$f'' (x) = - \frac{6 (- (x) - 1 \cdot - 40)}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 40)$ .

$f'' (x) = - \frac{6 (- (x - 40))}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.9

Reescreva $- (x - 40)$ como $- 1 (x - 40)$ .

$f'' (x) = - \frac{6 (- 1 (x - 40))}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{6 (x - 40)}{x^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{6 (x - 40)}{x^{4}})$

Etapa 1.1.2.4.12

Multiplique $\frac{6 (x - 40)}{x^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 (x - 40)}{x^{4}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{6 (x - 40)}{x^{4}}$ .

$\frac{6 (x - 40)}{x^{4}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{6 (x - 40)}{x^{4}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{6 (x - 40)}{x^{4}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$6 (x - 40) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $6 (x - 40) = 0$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Divida cada termo em $6 (x - 40) = 0$ por $6$ .

$\frac{6 (x - 40)}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (x - 40)}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.3.1.2.1.2

Divida $x - 40$ por $1$ .

$x - 40 = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$x - 40 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Some $40$ aos dois lados da equação.

$x = 40$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 40}{x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 3 x - 40}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 40) \cup (40, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{6 ((- 2) - 40)}{{(- 2)}^{4}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Subtraia $40$ de $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{6 \cdot - 42}{{(- 2)}^{4}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{6 \cdot - 42}{16}$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 42$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 252}{16}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $- 252$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Fatore $4$ de $- 252$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 (- 63)}{16}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot - 63}{4 \cdot 4}$

Etapa 4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot - 63}{4 \cdot 4}$

Etapa 4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 2) = \frac{- 63}{4}$

Etapa 4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 2) = - \frac{63}{4}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $- \frac{63}{4}$ .

$- \frac{63}{4}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 40)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{6 ((2) - 40)}{{(2)}^{4}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Subtraia $40$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{6 \cdot - 38}{2^{4}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (2) = \frac{6 \cdot - 38}{16}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 38$ .

$f'' (2) = \frac{- 228}{16}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $- 228$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $4$ de $- 228$ .

$f'' (2) = \frac{4 (- 57)}{16}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot - 57}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot - 57}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = \frac{- 57}{4}$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (2) = - \frac{57}{4}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- \frac{57}{4}$ .

$- \frac{57}{4}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 40)$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 40)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(40, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $42$ na expressão.

$f'' (42) = \frac{6 ((42) - 40)}{{(42)}^{4}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Subtraia $40$ de $42$ .

$f'' (42) = \frac{6 \cdot 2}{42^{4}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $42$ à potência de $4$ .

$f'' (42) = \frac{6 \cdot 2}{3111696}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $6$ por $2$ .

$f'' (42) = \frac{12}{3111696}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $12$ e $3111696$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $12$ de $12$ .

$f'' (42) = \frac{12 (1)}{3111696}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Fatore $12$ de $3111696$ .

$f'' (42) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 259308}$

Etapa 6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (42) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 259308}$

Etapa 6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (42) = \frac{1}{259308}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\frac{1}{259308}$ .

$\frac{1}{259308}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(40, \infty)$ porque $f'' (42)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(40, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para baixo em $(0, 40)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(40, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8