Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Multiplique $1 - x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Multiplique.

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Etapa 1.1.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} + 2 (x \cdot x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} + 2 (x \cdot x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.7

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.8

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{2}}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.2.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.2.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot ({(- x^{2} + 1)}^{2} x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 1)}^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = - x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.7.1

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.7.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + 4 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.3.1.1

Reescreva ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ como $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.2

Expanda $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.2.5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1.4

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1.6

Multiplique $- x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.1.7

Multiplique $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.5.3.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{4} x - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.8

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{1 + 2} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.9.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10

Expanda $(4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3} + x) + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot (- 1 x^{2} x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot (- 1 (x^{3} x^{2})) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot (- 1 x^{3 + 2}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.2.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot (- 1 x^{5}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.4.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.2

Subtraia $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 0 + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.1.11.3

Some $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.2

Subtraia $4 x^{5}$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.3.3

Some $2 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.2

Fatore $2 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.3

Fatore $2 x$ de $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} - 2 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e cuja soma é $b = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.4.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} - 2 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.1.2

Reescreva $- 2$ como $1$ mais $- 3$

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} + (1 - 3) u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} + 1 u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} + u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = \frac{2 x ((- u^{2} + u) - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = \frac{2 x (u (- u + 1) + 3 (- u + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u + 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((- u + 1) (u + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((- x^{2} + 1) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((- x^{2} + 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.7

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((1^{2} - x^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.4.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.5.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5.2

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.5.4

Aplique a regra do produto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.6

Cancele o fator comum de $1 + x$ e ${(1 + x)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.6.1

Fatore $1 + x$ de $2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.6.2.1

Fatore $1 + x$ de ${(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

Etapa 1.1.2.5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

Etapa 1.1.2.5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.7

Cancele o fator comum de $1 - x$ e ${(1 - x)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.7.1

Fatore $1 - x$ de $(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.7.2.1

Fatore $1 - x$ de ${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

Etapa 1.1.2.5.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

Etapa 1.1.2.5.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} + 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.3.3

Defina $x^{2} + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina $x^{2} + 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Resolva $x^{2} + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 3$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 1.2.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.3.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x}{1 - x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 1$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 1}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 1}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Remova os parênteses.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 + 4)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} \cdot 5^{3}}$

Etapa 4.2.2.4

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 5^{3}}$

Etapa 4.2.2.5

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 125}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 + 3)}{- 27 \cdot 125}$

Etapa 4.2.3.2

Some $16$ e $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 27 \cdot 125}$

Etapa 4.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Multiplique $- 27$ por $125$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 3375}$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $- 8$ por $19$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 152}{- 3375}$

Etapa 4.2.4.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$f'' (- 4) = \frac{152}{3375}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $\frac{152}{3375}$ .

$\frac{152}{3375}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Remova os parênteses.

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $0.5$ de $1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 + 0.5)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Some $1$ e $0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} \cdot {1.5}^{3}}$

Etapa 5.2.2.4

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot {1.5}^{3}}$

Etapa 5.2.2.5

Eleve $1.5$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Eleve $- 0.5$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 (0.25 + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

Etapa 5.2.3.2

Some $0.25$ e $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.125 \cdot 3.375}$

Etapa 5.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $0.125$ por $3.375$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.421875}$

Etapa 5.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $3.25$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 3.25}{0.421875}$

Etapa 5.2.4.3

Divida $- 3.25$ por $0.421875$ .

$f'' (- 0.5) = - 7.\overline{703}$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $- 7.\overline{703}$ .

$- 7.\overline{703}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 1, 0)$ porque $f'' (- 0.5)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 1, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.5$ na expressão.

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Multiplique $2$ por $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{1 ({0.5}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique ${0.5}^{2} + 3$ por $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Some $1$ e $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - 0.5)}^{3}}$

Etapa 6.2.3.3

Subtraia $0.5$ de $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} \cdot {0.5}^{3}}$

Etapa 6.2.3.4

Eleve $1.5$ à potência de $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot {0.5}^{3}}$

Etapa 6.2.3.5

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

Etapa 6.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$f'' (0.5) = \frac{0.25 + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

Etapa 6.2.4.2

Some $0.25$ e $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{3.375 \cdot 0.125}$

Etapa 6.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Multiplique $3.375$ por $0.125$ .

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{0.421875}$

Etapa 6.2.5.2

Divida $3.25$ por $0.421875$ .

$f'' (0.5) = 7.\overline{703}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $7.\overline{703}$ .

$7.\overline{703}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, 1)$ porque $f'' (0.5)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Remova os parênteses.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $1$ e $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(- 3)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 {(- 3)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.5

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 \cdot - 27}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (16 + 3)}{125 \cdot - 27}$

Etapa 7.2.3.2

Some $16$ e $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{125 \cdot - 27}$

Etapa 7.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $125$ por $- 27$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{- 3375}$

Etapa 7.2.4.2

Multiplique $8$ por $19$ .

$f'' (4) = \frac{152}{- 3375}$

Etapa 7.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (4) = - \frac{152}{3375}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $- \frac{152}{3375}$ .

$- \frac{152}{3375}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 1, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 9