Cálculo Exemplos

$\int_{x}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$

Etapa 1

Divida a integral em duas integrais, em que $c$ é um valor entre $x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Etapa 3

Troque os limites de integração.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Etapa 4

Calcule a derivada de $- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Etapa 5

Calcule a derivada de $\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ com relação a $x$ usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [2 x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \frac{d}{d x} [x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 1 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Etapa 6.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Etapa 6.3.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 (x))}^{2} - 6 (2 x))$

Etapa 6.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.3.1

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (2^{2} x^{2}) - 6 (2 x))$

Etapa 6.3.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (4 x^{2}) - 6 (2 x))$

Etapa 6.3.3.3

Multiplique $4$ por $12$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 6 (2 x))$

Etapa 6.3.3.4

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Etapa 7.3

Combine os termos.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$- 12 x^{2} - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Etapa 7.3.3

Multiplique $48$ por $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} + 2 (- 12 x)$

Etapa 7.3.4

Multiplique $- 12$ por $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} - 24 x$

Etapa 7.3.5

Some $- 12 x^{2}$ e $96 x^{2}$ .

$84 x^{2} + 6 x - 24 x$

Etapa 7.3.6

Subtraia $24 x$ de $6 x$ .

$84 x^{2} - 18 x$