Cálculo Exemplos

$x - y^{3} = 0$ , $x - y = 0$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $y^{3}$ aos dois lados da equação.

$x = y^{3}$

$x - y = 0$

Etapa 1.2

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $y^{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $x - y = 0$ por $y^{3}$ .

$(y^{3}) - y = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Remova os parênteses.

$y^{3} - y = 0$

$x = y^{3}$

$y^{3} - y = 0$

$x = y^{3}$

$y^{3} - y = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3

Resolva $y$ em $y^{3} - y = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $y$ de $y^{3} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$y \cdot y^{2} - y = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.1.1.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y \cdot y^{2} + y \cdot - 1 = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.1.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot y^{2} + y \cdot - 1$ .

$y (y^{2} - 1) = 0$

$x = y^{3}$

$y (y^{2} - 1) = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y (y^{2} - 1^{2}) = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.1.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$y ((y + 1) (y - 1)) = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y (y + 1) (y - 1) = 0$

$x = y^{3}$

$y (y + 1) (y - 1) = 0$

$x = y^{3}$

$y (y + 1) (y - 1) = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y = 0$

$y + 1 = 0$

$y - 1 = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.3

Defina $y$ como igual a $0$ .

$y = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.4

Defina $y + 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Defina $y + 1$ como igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - 1$

$x = y^{3}$

$y = - 1$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.5

Defina $y - 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Defina $y - 1$ como igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 1$

$x = y^{3}$

$y = 1$

$x = y^{3}$

Etapa 1.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $y (y + 1) (y - 1) = 0$ verdadeiro.

$y = 0, - 1, 1$

$x = y^{3}$

$y = 0, - 1, 1$

$x = y^{3}$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $0$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = y^{3}$ por $0$ .

$x = {(0)}^{3}$

$y = 0$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Etapa 1.5

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $- 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = y^{3}$ por $- 1$ .

$x = {(- 1)}^{3}$

$y = - 1$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

Etapa 1.6

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $0$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = y^{3}$ por $0$ .

$x = {(0)}^{3}$

$y = 0$

Etapa 1.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Etapa 1.7

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $- 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = y^{3}$ por $- 1$ .

$x = {(- 1)}^{3}$

$y = - 1$

Etapa 1.7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

$x = - 1$

$y = - 1$

Etapa 1.8

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = y^{3}$ por $1$ .

$x = {(1)}^{3}$

$y = 1$

Etapa 1.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = 1$

$y = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$x = 1$

$y = 1$

Etapa 1.9

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

Etapa 2

Some $y^{3}$ aos dois lados da equação.

$x = y^{3}$

Etapa 3

Some $y$ aos dois lados da equação.

$x = y$

Etapa 4

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} y^{3} d y - \int_{- 1}^{0} y d y$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{0} y^{3} - (y) d y$

Etapa 5.2

Multiplique $- 1$ por $y$ .

$\int_{- 1}^{0} y^{3} - y d y$

Etapa 5.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{0} y^{3} d y + \int_{- 1}^{0} - y d y$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - y d y$

Etapa 5.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} y^{4}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} y d y$

Etapa 5.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0})$

Etapa 5.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Etapa 5.7.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Avalie $\frac{1}{4} y^{4}$ em $0$ e em $- 1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Etapa 5.7.2.2

Avalie $\frac{y^{2}}{2}$ em $0$ e em $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 1 - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3.5

Subtraia $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3.6

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3.7

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.3.7.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3.7.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 5.7.2.3.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{1}{2})$

Etapa 5.7.2.3.9

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{4} - - \frac{1}{2}$

Etapa 5.7.2.3.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 5.7.2.3.11

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.7.2.3.12

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.7.2.3.13

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.3.13.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.7.2.3.13.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

Etapa 5.7.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 2}{4}$

Etapa 5.7.2.3.15

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 6

$A r e a = \int_{0}^{1} y d y - \int_{0}^{1} y^{3} d y$

Etapa 7

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} y - (y^{3}) d y$

Etapa 7.2

Multiplique $- 1$ por $y^{3}$ .

$\int_{0}^{1} y - y^{3} d y$

Etapa 7.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} y d y + \int_{0}^{1} - y^{3} d y$

Etapa 7.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - y^{3} d y$

Etapa 7.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y^{3} d y$

Etapa 7.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{1})$

Etapa 7.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{1} - (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Etapa 7.7.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.2.1

Avalie $\frac{1}{2} y^{2}$ em $1$ e em $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Etapa 7.7.2.2

Avalie $\frac{y^{4}}{4}$ em $1$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 7.7.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 7.7.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 7.7.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 7.7.2.3.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 7.7.2.3.5

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 7.7.2.3.6

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 7.7.2.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Etapa 7.7.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Etapa 7.7.2.3.9

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.2.3.9.1

Fatore $4$ de $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Etapa 7.7.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.2.3.9.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 7.7.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Etapa 7.7.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Etapa 7.7.2.3.9.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - 0)$

Etapa 7.7.2.3.10

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} + 0)$

Etapa 7.7.2.3.11

Some $\frac{1}{4}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Etapa 7.7.2.3.12

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Etapa 7.7.2.3.13

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.2.3.13.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Etapa 7.7.2.3.13.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 7.7.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - 1}{4}$

Etapa 7.7.2.3.15

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 8

Some as áreas $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 1}{4}$

Etapa 8.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{4}$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Etapa 8.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 9