Cálculo Exemplos

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

Etapa 1.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = 1$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Substitua $1$ por $x$ em $y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Simplifique $(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ .

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Etapa 1.3.2.3.1

Multiplique $e^{{(1)}^{2}}$ por $1$ .

$y = e^{{(1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = e^{1}$

Etapa 1.3.2.3.3

Simplifique.

$y = e$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(1, e)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $1$ e $e$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $e^{x}$ .

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Etapa 3.4

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.4.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 3.4.1.1

Diferencie $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 3.4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Etapa 3.4.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Etapa 3.4.1.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Etapa 3.4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

Etapa 3.4.3

Simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = e^{1}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique.

$u_{lower} = e$

Etapa 3.4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Etapa 3.4.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Etapa 3.4.6

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Etapa 3.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Etapa 3.7

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

Etapa 3.8

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.8.1

Avalie $\frac{1}{2} u_{2}$ em $e^{e^{2}}$ e em $e$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

Etapa 3.8.2

Avalie $e^{x}$ em $e$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Etapa 3.8.3

Simplifique.

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Etapa 3.8.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{e^{2}}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Etapa 3.8.3.2

Combine $e$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

Etapa 3.8.3.3

Simplifique.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

Etapa 3.8.3.4

Para escrever $- (e^{e} - e)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

Etapa 3.8.3.5

Combine $- (e^{e} - e)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Etapa 3.8.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Etapa 3.8.3.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

Etapa 3.9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.9.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

Etapa 3.9.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

Etapa 3.9.3

Subtraia $e$ de $2 e$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

Etapa 4