Cálculo Exemplos

$y = \sin (x)$ , $y = x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sin (x) = x$

Etapa 1.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = 0$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.3.2

Remova os parênteses.

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $\frac{π}{2}$ e $π$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - (\sin (x)) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $\sin (x)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - \sin (x) d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Etapa 3.6

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Etapa 3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.7.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.7.1.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $π$ e em $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{1}{2} π^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Etapa 3.7.1.2

Avalie $- \cos (x)$ em $π$ e em $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Etapa 3.7.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Etapa 3.7.2

Simplifique.

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Etapa 3.7.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + 0)$

Etapa 3.7.2.2

Some $- \cos (π)$ e $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - - \cos (π)$

Etapa 3.7.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 \cos (π)$

Etapa 3.7.2.4

Multiplique $\cos (π)$ por $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (π)$

Etapa 3.7.3

Simplifique.

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Etapa 3.7.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + \cos (π)$

Etapa 3.7.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4} + \cos (π)$

Etapa 3.7.3.3

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4}$ .

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Etapa 3.7.3.3.1

Multiplique $\frac{π^{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2} + \cos (π)$

Etapa 3.7.3.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.7.3.4

Para escrever $\frac{π^{2}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.7.3.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.7.3.5.1

Multiplique $\frac{π^{2}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.7.3.5.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.7.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.7.3.7

Subtraia $π^{2}$ de $π^{2} \cdot 4$ .

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Etapa 3.7.3.7.1

Reordene $π^{2}$ e $4$ .

$\frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.7.3.7.2

Subtraia $π^{2}$ de $4 \cdot π^{2}$ .

$\frac{3 \cdot π^{2}}{8} + \cos (π)$

$\frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Etapa 3.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.8.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{3 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Etapa 3.8.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Etapa 3.8.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Etapa 4