Cálculo Exemplos

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$81 x = x^{5}$

Etapa 1.2

Resolva $81 x = x^{5}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x^{5}$ dos dois lados da equação.

$81 x - x^{5} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $x$ de $81 x - x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $x$ de $81 x$ .

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $x$ de $- x^{5}$ .

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ .

$x (81 - x^{4}) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 9$ e $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

Etapa 1.2.2.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

Etapa 1.2.2.5.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

Etapa 1.2.2.5.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

Etapa 1.2.2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $9 + x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $9 + x^{2}$ como igual a $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $9 + x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 9$

Etapa 1.2.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Etapa 1.2.5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Etapa 1.2.5.2.3.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.2.5.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Etapa 1.2.5.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Etapa 1.2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i$

Etapa 1.2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i, - 3 i$

Etapa 1.2.6

Defina $3 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $3 + x$ como igual a $0$ .

$3 + x = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.7

Defina $3 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $3 - x$ como igual a $0$ .

$3 - x = 0$

Etapa 1.2.7.2

Resolva $3 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 1.2.7.2.2

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.7.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = {(0)}^{5}$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = {(0)}^{5}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{5}$

Etapa 1.3.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 3 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $3 i$ por $x$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

Etapa 1.4.2

Simplifique ${(3 i)}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$y = 3^{5} i^{5}$

Etapa 1.4.2.2

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$y = 243 i^{5}$

Etapa 1.4.2.3

Fatore $i^{4}$ .

$y = 243 (i^{4} i)$

Etapa 1.4.2.4

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.4.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Etapa 1.4.2.4.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Etapa 1.4.2.4.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = 243 (1 i)$

Etapa 1.4.2.5

Multiplique $i$ por $1$ .

$y = 243 i$

Etapa 1.5

Avalie $y$ quando $x = - 3 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua $- 3 i$ por $x$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

Etapa 1.5.2

Simplifique ${(- 3 i)}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Aplique a regra do produto a $- 3 i$ .

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

Etapa 1.5.2.2

Eleve $- 3$ à potência de $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $i^{4}$ .

$y = - 243 (i^{4} i)$

Etapa 1.5.2.4

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.4.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Etapa 1.5.2.4.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Etapa 1.5.2.4.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

Etapa 1.5.2.5

Multiplique $i$ por $1$ .

$y = - 243 i$

Etapa 1.6

Avalie $y$ quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

Etapa 1.6.2

Eleve $- 3$ à potência de $5$ .

$y = - 243$

Etapa 1.7

Avalie $y$ quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Substitua $3$ por $x$ .

$y = {(3)}^{5}$

Etapa 1.7.2

Substitua $3$ por $x$ em $y = {(3)}^{5}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.1

Remova os parênteses.

$y = 3^{5}$

Etapa 1.7.2.2

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$y = 243$

Etapa 1.8

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

Etapa 2

A área entre as curvas em questão é ilimitada.

Área não limitada

Etapa 3