Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + 3$ ; $y = 6 x - 6$ ; $- 1 \leq x \leq 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} + 3 = 6 x - 6$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} + 3 = 6 x - 6$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $6 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 3 - 6 x = - 6$

Etapa 1.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + 3 - 6 x + 6 = 0$

Etapa 1.2.3

Some $3$ e $6$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.2.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 1.2.4.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.6

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 3$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $3$ por $x$ .

$y = 6 (3) - 6$

Etapa 1.3.2

Simplifique $6 (3) - 6$ .

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$y = 18 - 6$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $6$ de $18$ .

$y = 12$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(3, 12)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 d x - \int_{- 1}^{2} 6 x - 6 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $2$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - (6 x - 6) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 3 - (6 x) - - 6$

Etapa 3.2.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$x^{2} + 3 - 6 x - - 6$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$x^{2} + 3 - 6 x + 6$

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - 6 x + 6 d x$

Etapa 3.3

Some $3$ e $6$ .

$\int_{- 1}^{2} x^{2} - 6 x + 9 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Etapa 3.6

Como $- 6$ é constante com relação a $x$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Etapa 3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Etapa 3.9

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 9 x]_{- 1}^{2}$

Etapa 3.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.10.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ e $9 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Etapa 3.10.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.10.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ em $2$ e em $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Etapa 3.10.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.10.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.3

Multiplique $9$ por $2$ .

$\frac{8}{3} + 18 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.4

Para escrever $18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.5

Combine $18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.10.2.3.7.1

Multiplique $18$ por $3$ .

$\frac{8 + 54}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.7.2

Some $8$ e $54$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{- 1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.11

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.12

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.13

Combine $- 9$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 9 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.15.1

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 27}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.15.2

Subtraia $27$ de $- 1$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{62}{3} - - \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.17

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{62}{3} + 1 (\frac{28}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.18

Multiplique $\frac{28}{3}$ por $1$ .

$\frac{62}{3} + \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{62 + 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.20

Some $62$ e $28$ .

$\frac{90}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.21

Cancele o fator comum de $90$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.21.1

Fatore $3$ de $90$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.21.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.21.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3 (1)} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.21.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 30}{3 \cdot 1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.21.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{30}{1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.21.2.4

Divida $30$ por $1$ .

$30 - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.22

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$30 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.23

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.23.1

Fatore $2$ de $4$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.23.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.23.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.23.2.2

Cancele o fator comum.

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.23.2.3

Reescreva a expressão.

$30 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.23.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$30 - 6 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.24

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$30 - 6 (2 - \frac{1}{2})$

Etapa 3.10.2.3.25

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 3.10.2.3.26

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 3.10.2.3.27

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$30 - 6 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 3.10.2.3.28

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.28.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$30 - 6 \frac{4 - 1}{2}$

Etapa 3.10.2.3.28.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$30 - 6 (\frac{3}{2})$

Etapa 3.10.2.3.29

Combine $- 6$ e $\frac{3}{2}$ .

$30 + \frac{- 6 \cdot 3}{2}$

Etapa 3.10.2.3.30

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$30 + \frac{- 18}{2}$

Etapa 3.10.2.3.31

Cancele o fator comum de $- 18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.31.1

Fatore $2$ de $- 18$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2}$

Etapa 3.10.2.3.31.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.31.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

Etapa 3.10.2.3.31.2.2

Cancele o fator comum.

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.10.2.3.31.2.3

Reescreva a expressão.

$30 + \frac{- 9}{1}$

Etapa 3.10.2.3.31.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$30 - 9$

Etapa 3.10.2.3.32

Subtraia $9$ de $30$ .

$21$

Etapa 4