Cálculo Exemplos

$y = e^{- x}$ ; $[0, 5]$

Etapa 1

Escreva $y = e^{- x}$ como uma função.

$f (x) = e^{- x}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f (x)$ é contínuo em $[0, 5]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} e^{- x} d x)$

Etapa 6

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 6.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 5$

Etapa 6.5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$u_{upper} = - 5$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 5$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{- 5} - e^{u} d u)$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \int_{0}^{- 5} e^{u} d u)$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{u}]_{0}^{- 5}))$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $e^{u}$ em $- 5$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- ((e^{- 5}) - e^{0}))$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{- 5} - 1 \cdot 1))$

Etapa 9.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (e^{- 5} - 1))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (\frac{1}{e^{5}} - 1))$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Etapa 10.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Etapa 11

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Etapa 11.2

Some $5$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{1}{e^{5}} + 1)$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{1}{e^{5}}) + \frac{1}{5} \cdot 1$

Etapa 12.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{e^{5}}$ .

$A (x) = - \frac{1}{5 e^{5}} + \frac{1}{5} \cdot 1$

Etapa 12.3

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$A (x) = - \frac{1}{5 e^{5}} + \frac{1}{5}$

Etapa 13