Cálculo Exemplos

$y = 8 x (20 - x)$ ; $[0, 20]$

Etapa 1

Escreva $y = 8 x (20 - x)$ como uma função.

$f (x) = 8 x (20 - x)$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f (x)$ é contínuo em $[0, 20]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x (20 - x) d x)$

Etapa 6

Multiplique $8 x (20 - x)$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x \cdot 20 + 8 x (- x) d x)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $20$ por $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x + 8 x (- x) d x)$

Etapa 7.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x \cdot x d x)$

Etapa 7.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Etapa 7.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Etapa 7.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{1 + 1} d x)$

Etapa 7.6

Some $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{2} d x)$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Etapa 9

Como $160$ é constante com relação a $x$ , mova $160$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Etapa 11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Etapa 12

Como $- 8$ é constante com relação a $x$ , mova $- 8$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 \int_{0}^{20} x^{2} d x)$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}))$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Etapa 14.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $20$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Etapa 14.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $20$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.1

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.2

Cancele o fator comum de $400$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.2.1

Fatore $2$ de $400$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.2.2.4

Divida $200$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.4

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.4.1

Fatore $2$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 (0)}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 + 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.6

Some $200$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \cdot 200 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.7

Multiplique $160$ por $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.8

Eleve $20$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Etapa 14.2.3.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{3}))$

Etapa 14.2.3.10

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.10.1

Fatore $3$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Etapa 14.2.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 14.2.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Etapa 14.2.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{1}))$

Etapa 14.2.3.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - 0))$

Etapa 14.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} + 0))$

Etapa 14.2.3.12

Some $\frac{8000}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3}))$

Etapa 14.2.3.13

Combine $- 8$ e $\frac{8000}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 8 \cdot 8000}{3})$

Etapa 14.2.3.14

Multiplique $- 8$ por $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 64000}{3})$

Etapa 14.2.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - \frac{64000}{3})$

Etapa 14.2.3.16

Para escrever $32000$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64000}{3})$

Etapa 14.2.3.17

Combine $32000$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3}{3} - \frac{64000}{3})$

Etapa 14.2.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3 - 64000}{3})$

Etapa 14.2.3.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.3.19.1

Multiplique $32000$ por $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{96000 - 64000}{3})$

Etapa 14.2.3.19.2

Subtraia $64000$ de $96000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000}{3})$

Etapa 15

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{32000}{3}$

Etapa 15.2

Some $20$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{32000}{3}$

Etapa 16

Cancele o fator comum de $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Fatore $20$ de $32000$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (1600)}{3}$

Etapa 16.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 1600}{3}$

Etapa 16.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1600}{3}$

Etapa 17