Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[- 1, 1]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{5}{x^{2} + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 1.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 1.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 1.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 1.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 1.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 1.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} \frac{5}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 5

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Etapa 6.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x)]_{- 1}^{1}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (x)]_{- 1}^{1}))$

Etapa 8

Avalie $\arctan (x)$ em $1$ e em $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (1) - \arctan (- 1)))$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} - \arctan (- 1)))$

Etapa 9.1.2

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 9.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})))$

Etapa 9.1.3.2

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Etapa 9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π + π}{4}))$

Etapa 9.3

Some $π$ e $π$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{4}))$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 9.4.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 (π)}{4}))$

Etapa 9.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Etapa 9.4.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Etapa 9.4.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{2}))$

Etapa 9.5

Combine $5$ e $\frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{5 π}{2})$

Etapa 10

Some $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Etapa 11

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ .

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{5 π}{2}$ .

$A (x) = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{5 π}{4}$

Etapa 12