Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.2

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - 1 \cdot - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4

Reescreva $- (x^{2} - 3)$ como $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \sqrt{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.7320508$ na expressão.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{{(- 2.7320508)}^{2} - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Subtraia $3$ de $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 2.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $7.46410157$ e $3$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $10.46410157$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Divida $4.46410157$ por $109.49742174$ .

$f' (- 2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0.04076901$ .

$f' (- 2.7320508) = - 0.04076901$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

Etapa 5.3

Em $x = - 2.7320508$ , a derivada é $- 0.04076901$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \sqrt{3})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2} - 3}{{({(0)}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = - \frac{0 - 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0 + 3)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $0$ e $3$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{3^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{9}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f' (0) = - \frac{3 (- 1)}{9}$

Etapa 6.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Etapa 6.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (0) = - \frac{- 1}{3}$

Etapa 6.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (0) = \frac{1}{3}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 6.3

Em $x = 0$ , a derivada é $\frac{1}{3}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ .

Acréscimo em $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.7320508$ na expressão.

$f' (2.7320508) = - \frac{{(2.7320508)}^{2} - 3}{{({(2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $2.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Subtraia $3$ de $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $2.7320508$ à potência de $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $7.46410157$ e $3$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $10.46410157$ à potência de $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Divida $4.46410157$ por $109.49742174$ .

$f' (2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0.04076901$ .

$f' (2.7320508) = - 0.04076901$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

Etapa 7.3

Em $x = 2.7320508$ , a derivada é $- 0.04076901$ . Por ser negativa, a função diminui em $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\sqrt{3}, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Decréscimo em: $(- \infty, - \sqrt{3}), (\sqrt{3}, \infty)$

Etapa 9